Question

积分中值定理的逆定理如何理解?

Answer 1

积分中值定理的逆定理，也被称为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），是微积分中的一个重要概念，用于将积分与导数联系起来。理解这个定理可以帮助我们更深入地理解积分和导数之间的关系。

积分中值定理的逆定理可以表述为两个相关但略微不同的定理，分别为第一部分和第二部分。

• 积分中值定理的逆定理（第一部分）： 如果在区间 [a, b] 上，函数 f(x) 在该区间上连续，并且 F(x) 是 f(x) 的一个原函数（即 F'(x) = f(x)），那么积分从 a 到 b 的值等于 F(b) 减去 F(a)。即：

  ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

  这个定理表明了积分和原函数之间的关系，将积分看作是原函数在两个点之间的差值。

• 积分中值定理的逆定理（第二部分）： 如果在区间 [a, b] 上，函数 f(x) 是可积的（即 Riemann 可积），并且 c 是 a 和 b 之间的一个数，那么存在一个点 ξ ∈ [a, b]，使得：

  ∫[a, b] f(x) dx = f(ξ) * (b - a)

  这个定理表明，对于可积函数，在区间 [a, b] 上的积分值等于函数在某一点的值乘以区间的长度。

这两个逆定理的基本思想是，积分和导数之间的关系是互逆的。积分中值定理的逆定理帮助我们将积分的概念与原函数和函数值联系起来，从而更好地理解微积分的核心思想。这个定理在计算实际问题中具有重要的应用，特别是在计算定积分和求解微分方程等方面。

Answer 2

第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b)
f(x)g(x)dx
=
g(a)∫(a,ξ)
f(x)dx
+
g(b)∫(b,ξ)
f(x)dx
积分第一中值定理：若f(x)在[a,
b]上连续，则在[a,
b]上至少存在一点ξ，使
∫(a,b)
f(x)dx
=
f(ξ)(b
-
a)
设g(x)为f(x)的原函数。
由第一中值定理得
在[a,b]中存在e
使
∫(a,b)
f(x)g(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(e)g(a)-g(e)g(b)
而要证的部分（第二中值定理等式右边)
要证ξ存在
因为g(a)∫(a,ξ)
f(x)dx
+
g(b)∫(b,ξ)
f(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(ξ)g(a)-g(ξ)g(b)
故
因为存在e使∫(a,b)
f(x)g(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(e)g(a)-g(e)g(b)成立
只要ξ=e
即有第二中值定理等式成立
故ξ存在