Question

一个对斯托克斯公式的理解问题，求高数哥解决！

斯托克斯公式能将空间闭合曲线积分变为第二型曲面积分。但变换前、变换后的积分都与曲面的形状无关，是不是变换之后的曲面可以是任意边界线为该闭合曲线的曲面？再推一下，是不是一个有边界线的曲面积分，先变为空间闭合曲线积分，然后再变回曲面积分，曲面的形状就可以改变了？（it seems ridiculous，but I just cannot figure it out!）
但是如果一个向量场是(z,0,z),曲线是x^2+y^2=1，z=0 .那么它的曲线积分是0。但用斯托克斯公式将它变为曲面积分，将曲面取为x^2+y^2+z^2=1,那么它的曲面积分就不是0了。。。还请ekll老师不吝赐教！
书上推导过程中似乎隐含着一个假设：曲面S在面x0y上投影的边界为曲线L在面x0y上的投影。对于面y0z,面z0x，也有同样的假设，这是不是说明，曲面S的选取必须满足其在面x0y、面y0z、面z0x的投影的边界为L在那三个面的投影？例如上面举的那个例子不符合，就是因为面选得不符合这个假设？

Answer 1

斯托克斯公式积出来的本来只是空间曲线上的旋度，又不是积曲面面积什么的，当然与曲面无关，可以任意取。考虑一下它的物理意义吧，在斯托克斯公式的适用条件下，曲面的选取是无关紧要的。

Answer 2

ekll说的对。
你如果把你推导的过程一步一步写出来，而不是大概一想，就能发现问题在哪里了。