Question

矩阵指数函数性质证明问题

矩阵指数函数性质证明问题
假设矩阵A， 证明 e^A(t1+t2)=e^At1+e^At2 还有e^At的逆矩阵=
e^-At
看图片会清楚一点
很多书上直接给出了性质，都说是很容易证明，可是不知道怎么证明

Answer 1

1.e^A(t1+t2)=∑1/k!*(t1+t2)^kA^k
e^At1*e^At2=(∑1/k!*t1^kA^k)*(∑1/k!*t2^kA^k)
上式右端相乘展开后，根据A^k项合并，就得∑1/k!*(t1+t2)^kA^k
证完
2.因为可逆矩阵P*P^(-1)=E,则:
e^At=∑1/k!*t^kA^k
e^-At=∑1/k!*(-t)^kA^k
由1.题的结论：（令t1=1,t2=-1）所以e^At*e^-At=e^A(1+(-1))=e^A0=E.证完

Answer 2

一般性. 设矩阵A,B
D=d/dt[exp(At)exp(Bt)]
=(d/dt exp(At))exo(Bt)+exp(At)(d/dt(exp(Bt))
因 d/dt [exp(At)]=Aexp[At)
D=Aexp(At)exp(Bt)+exp(At)Bexp(Bt)
设AB=BA ==> (At)^k B=B(At)^k
D=Aexp(At)exp(Bt)+Bexp(At)exp(Bt)
d/dt[exp(At)exp(Bt)]=D=(A+B)exp(At)exp(Bt)
(1/exp(At)exp(Bt)) d/dt[exp(At)exp(Bt)]=D=(A+B)
(1/exp(At)exp(Bt)) d[exp(At)exp(Bt)]=(A+B)dt
因 dx/x=lnx
exp(At)exp(Bt)=exp((A+B)t)
exp(A)exp(B)=exp(A+B)
设 A=At1, B=At2
exp(At1)exp(At2)=exp[At1+At2]-----------------------(1)
一楼说 " 根据A^k项合并" 。非常复杂.
2.
根据 (1), 设 t1=1, t2=-1
exp(At)exp(-At)=exp[A(1+(-1))]=e^(A0)=E