定积分怎么求

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小阳同学
2023-03-23 · 知道合伙人教育行家
小阳同学
知道合伙人教育行家
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江苏省高等数学竞赛二等奖

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带根号的定积分求法如下:

令x=sint

x:0→1,则t:0→π/2

∫[0:1]√(1-x²)dx

=∫[0:π/2]√(1-sin²t)d(sint)

=∫[0:π/2]cos²tdt

=½∫[0:π/2](1+cos2t)dt

=(½t+¼sin2t)|[0:π/2]

=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)

=π/4

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个导函数的原函数。

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