Question

复数z(z+i)=z-i,i为虚数单位,求z的模

Answer 1

😳问题 :复数z(z+i)=z-i,i为虚数单位,求z的模

👉复数

• 复数，是数的概念扩展。我们把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。

• 复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

• 复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受

👉复数的例子

1. 『例子一』 z=1+2i
   

2. 『例子二』 z=1                          ; 实数

3. 『例子三』 z=2i                         ； 纯虚数

👉回答

z(z+i)=z-i

• 展开

z^2 +zi =z-i

z^2+(i-1)z +i=0

• 因式分解

(z+i)(z-1) =0

z=-i or 1

• 得出

|z| =1

😄:  复数z(z+i)=z-i,i为虚数单位, |z| =1

Answer 2

z=a+bi，|z|^2=a^2+b^2，其中a、b为实数
(a+bi)[a+(b+1)i]=a+(b-1)i
a^2-b(b+1)=a，a^2-b^2-a-b=0，(a+b)(a-b-1)=0……①
a(b+1)+ab=b-1，2ab+a-b+1=0……②
(1). a=-b 代入②：2b^2+2b-1=0，4b^2+4b+1=3
|z|=√(a^2+b^2)=√2*|b|=√2*|-1±√3|/2=(√6±√2)/2
(2). a-b=1 代入②：-ab=1，a、-b为x^2-x+1=0两根，△<0无实根舍去
由(1)(2) z的模 |z|=√(a^2+b^2)=(√6±√2)/2
网友 sjh5551 的解法也是对的，但要会虚数开方

Answer 3

z(z+i) = z-i, z^2+(i-1)z+i = 0, z = (1/2)[1-i±√(-6i)]
-6i = 6[cos(-π/2)+isin(-π/2)]
√(-6i) = √6[cos(-π/4)+isin(-π/4)] = √3-√3i
或 √(-6i) = √6[cos(3π/4)+isin(3π/4)] = -√3+√3i
得 z = (1/2)[1-i+√(-6i)] = (1/2)[1-i+√3-√3i] = (1/2)[1+√3-(1+√3)i]
|z| = (√6+√2)/2
或 z = (1/2)[1-i+√(-6i)] = (1/2)[1-i-√3+√3i] = (1/2)[1-√3-(1-√3)i]
|z| = (√6-√2)/2
结论 |z| = (√6±√2)/2