Question

大学物理 求电势

一个与一个半径为b的长金属管同轴的半径为a的圆柱体放在一个绝缘座上，里面圆柱体的单位长度正电荷量为x，外面的管子上带有相反符号的等量电荷线密度。求电势V（r）在r<a;a<r<b;r>b时的值。(r=b时V=0）
还有为什么结果与没有外面那个管子一样？还有r>b时为什么为零？
多谢。

Answer 1

设圆柱与长金属管长度相等，并不计金属管厚度。
空间中的电场场强的分布是以轴为中心辐射对称的。并且，设长金属管充分长，则场强方向可认为与圆柱面垂直，当然也与轴线垂直。
首先，你已经知道Vb=0了。
现在求a<r<b处的场强。
取高斯面为一个与圆柱体和金属管同心的圆柱表面（包括上下表面），设该高斯面圆柱的高度为h。上下表面的电场强度通量为0，则通过该表面的场强通量仅在圆柱侧壁上，且其强度为E×2πrh，而根据高斯定理，通量=q/ε0，而q=xh，故场强为E=x/2πrε0。从a到b积分，得V|a<r<b =x/2πε0×ln(b/r)。当r=a时，Va=x/2πε0×ln(b/a)。
r<a时：如果圆柱体是金属的话，正电荷会全部分布于侧壁上，而圆柱体是等势体，内部场强为0，故V|r<a =Va。但是，如果是绝缘体的话，假设正电荷是均匀分布的，则同样取圆柱形的与长金属管和圆柱体同轴的高斯面，高度为h，只是其半径<a，它所包含的电荷量为xh×(r/a)^2。则E×2πrh=q/ε0，求得E=xr/(2πε0×a^2)。积分得Vr-Va=x/(4πε0×a^2)×(a^2-r^2)。再加上之前求出的Va就得出r<a时的电势了。

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补充：结果可不是与外面的管子无关，是很有关系的。
先解释一下r>b时为啥为0。取半径大于b的同轴圆柱形高斯面，由于内圆柱与外管的电荷线密度相等但电性相反，故该高斯面所包含的总电量为0，故r>b时场强为0。由于无穷远处电势为0，故r≥b处的所有点的电势均为0。
如果去掉外面的长管，则内圆柱的正电荷产生的电场会延伸至无穷远，而无穷远处电势为0，此时r=b处的电势就应该是圆柱中正电荷产生的场强从无穷远处一直积分到r=b所得的结果，即除了无穷远处以外，所有有限远处的点的电势都>0。正是由于长管中有负电荷，所以将整个空间的电势都降低了，包括r>b、r=b、r<b，圆柱内部的电势也被降低了。