Question

证明定积分等式！

f（x）在[1,a^2](a>1)上连续
求证：∫x^3f(x^2)dx(上限a下限1)=1/2∫xf(x)dx(上限a^2下限1)

Answer 1

证明：∵f(x)在[1,a^2](a>1)上连续
∴f(x)在[1,a](a>1)上连续
∵原式左边=1/2∫(1,a)x²f(x²)(2xdx)
=1/2∫(1,a)x²f(x²)d(x²)
=1/2∫(1,a²)xf(x)dx (用x代换x²)
=原是右边
∴原命题成立，证毕。

Answer 2

令 t = x² x在[1,a]是大于零的
所以 x = 根号t
所以 dx = 1/(2 根号t)dt
∫x^3f(x^2)dx(上限a下限1)
=∫t(根号t)f(t)1/(2 根号t)dt (上限a²，下限1)
=(1/2)∫tf(t)dt （同上）
=(1/2)∫xf(x)dx(上限a^2下限1)

Answer 3

x^3f(x^2)dx=t^(3/2)f(t)dt^(1/2),其中t=x^2

=tf(t)/2dt,那么关于t的积分上下限自动变为关于x积分上下限的平方

再依据符号无关性,t变x,立得