Question

如何求一个矩阵的秩

Answer 1

矩阵的秩计算方法：矩阵的行秩，列秩，秩都相等，初等变换不改变矩阵的秩，如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)，矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n，当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵，当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零。

矩阵的秩的变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0<=>A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

(8)P、Q为可逆矩阵，则r(PAQ)=r(A)

(9)n阶方阵A，若|A|=0，则r(A)<n，否则r(A)=n

(10)若Ax=B有解，则r(A)=r(A,B)

(11)若A~B，则人r(A)=r(B)

(12)若所有n阶子式为零，则r(A)<t(t为A的逆序数)

(13)A中若有S阶非零子式，则r(A)>=S