Question

（x+1/x）（1+x）的五次方展开式中一次项的系数是？

Answer 1

在这个问题中，我们想要找到 "(x+1/x)*(1+x)^5" 的一次项的系数。我们可以使用二项式定理，即 (a+b)^n 的展开式为 Σ (n choose k) a^(n-k) * b^k，其中 Σ 表示求和，"n choose k" 表示组合数，也就是从 n 个不同元素中选取 k 个元素的所有可能数。
我们需要找到 (1+x)^5 展开式中的 x 的一次项的系数，然后将这个系数乘以 (x+1/x) 中的 x 的一次项的系数。
首先，我们考虑 (1+x)^5 的展开式，当 k = 1 时，得到的就是一次项，即 (5 choose 1) * 1^(5-1) * x^1 = 5 * 1 * x = 5x，所以一次项的系数是 5。
然后，我们考虑 (x+1/x) 中的 x 的一次项的系数，这个显然是 1。
所以，(x+1/x)*(1+x)^5 的一次项的系数就是 5*1=5。

Answer 2

首先，我们先把（x+1/x）（1+x）的五次方展开式求出来，可以使用二项式定理：
(x+1/x)（1+x）的五次方 = (x^2+1+2x)的五次方
= C(5,0)(x^2)^5 + C(5,1)(x^2)^4(1)^1 + C(5,2)(x^2)^3(1)^2 + C(5,3)(x^2)^2(1)^3 + C(5,4)(x^2)^1(1)^4 + C(5,5)(x^2)^0(1)^5
化简后得到：
x^10 + 5x^8 + 10x^6 + 10x^4 + 5x^2 + 1
现在我们可以看到，展开式中存在一次项系数不为0，所以要找出这一项的系数。
我们发现，在展开式中，只有5x^2这一项存在x的一次幂，所以它就是展开式中的一次项。
因此，5x^2的系数是展开式中一次项的系数，即答案为5。