Question

求证a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a(a>0,b>0,c>0)

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Answer 1

证明:由基本不等式:a^2+b^2>=2ab,得:a^2-ab+b^2>=ab,不等式两边同乘以a+b
可得:a^3+b^3>=a^2b+b^2a, (1)
同理可得:b^3+c^3>=b^2c+c^2b (2)
c^3+a^3>=c^2a+a^2c (3)
(1)+(2)+(3),即得a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a

Answer 2

a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a等价于a^2(a-b)+b^2(b-c)-c^2(a-c)>=0不妨设a>=b>=c（可以这样设因为a,b c 是全对称）
a^2(a-b)+b^2(b-c)-c^2(a-c)=(a-b)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)>=0显然成立