矩阵的非0特征值与秩之间有什么关系吗?

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2023-06-23 · 专注为您带来别样视角的美食解说
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关系:如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。

为讨论方便,设A为m阶方阵。

证明:设方阵A的秩为n。

如将特征值的取值扩展到复数领域,则一个广义特征值有如下形式:Aν=λBν。

其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0,得到det(A-λB)=0(其中det即行列式)构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项。

若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

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