Question

如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动

如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动:同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x（s）
（1）当x为何值时，PQ‖BC
（2）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△BPQ：S△ABC的值
（3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由

需要过程

Answer 1

解：
（1）AP=4x,QC=3x.AB=BC=20,AC=30,所以：AQ=30-3x
当PQ‖BC时，有AP/AB=AQ/AC
即：4x/20=(30-3x)/30
解得：x=10/3
即：当运动时间是10/3秒时，PQ‖BC
（2）由S△BCQ：S△ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S△BCQ=(1/3)S△ABC
所以：Q,P的运动时间为10/3
由（1）题知，此时PQ与BC恰好平行。
所以：△ABC∽△APQ
所以：S△APQ/S△ABC=(20/30)^2=4/9
即：S△APQ=(4/9)S△ABC
所以：S△PBQ=S△ABC-S△APQ-S△BQC=S△ABC-(4/9)S△ABC-(1/3)S△ABC=(2/9)S△ABC
所以：S△BPQ：S△ABC=2：9

（3）能。
当△APQ∽△CQB时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3
由于：BC=20,
所以：可求得AQ=80/3
所以：QC=30-(80/3)=10/3
所以：P,Q两点运动的时间为(10/3)/3=10/9
所以：此时AP=4*(10/9)=40/9
即AP的长是40/9厘米

Answer 2

解：
（1）AP=4x,QC=3x.AB=BC=20,AC=30,所以：AQ=30-3x
当PQ‖BC时，有AP/AB=AQ/AC
即：4x/20=(30-3x)/30
解得：x=10/3
即：当运动时间是10/3秒时，PQ‖BC
（2）由S△BCQ：S△ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S△BCQ=(1/3)S△ABC
所以：Q,P的运动时间为10/3
因为：（1）此时PQ与BC平行。
所以：△ABC∽△APQ
所以：S△APQ/S△ABC=(20/30)^2=4/9
即：S△APQ=(4/9)S△ABC
所以：S△PBQ=S△ABC-S△APQ-S△BQC=S△ABC-(4/9)S△ABC-(1/3)S△ABC=(2/9)S△ABC
所以：S△BPQ：S△ABC=2：9

（3）能。
①当△APQ∽△CQB时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3
由于：BC=20,
所以：可求得AQ=80/3
所以：QC=30-(80/3)=10/3
所以：P,Q两点运动的时间为(10/3)/3=10/9
所以：此时AP=4*(10/9)=40/9
即AP的长是40/9厘米 ②当△ABC∽△APQ时，由第（1）题可知，AP=20cm ∴综上所述，此时AP=40/9或20cm

Answer 3

解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴4x20=30-3x30
∴x=10/3

（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了10/3秒，AP=40/3cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为2/3，
∴S△APQ：S△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=5/9S△ABC，
又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ=1/3S△ABC，
∴S△BPQ=S四边形PQCB-S△BCQ═5/9S△ABC-1/3S△ABC=2/9S△ABC，
∴S△BPQ：S△ABC=2：9=2/9

（3）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有3x4x=2030-3x解得x=10/9，此时AP=40/9cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有3x30-3x=20/4x解得x=5，此时AP=20cm．

Answer 4

(1)PQ平行于BC,则AP/AB=AQ/AC，AP=4x,AQ=30-3x
所以有，4x/20=(30-3x)/30,得x=10/3
(2)由于S三角形BCQ：S三角形ABC=1：3，得CQ:AC=1：3，CQ=10cm，所以时间用了10/3秒，AP=40/3cm，此时PQ平行于BC，故三角形APQ相似于三角形ABC，相似比为2/3，故
S三角形APQ：S三角形ABC=4：9
所以四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9
由于S三角形BCQ：S三角形ABC=1：3=3；9
故S三角形BPQ：S三角形ABC=2：9
（3）假设能
情况1:CQ:AP=BC:AQ,即有3x/4x=20/(30-3x),解得x=10/9
此时AP=40/9
情况2：CQ:AQ=BC:AP，即有3x/(30-3x)=20/4x,解得x=5，此时AP=20

Answer 5

解：（1）因为PQ‖BC，
所以∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,
又∠PAQ=∠BAC,
所以△APQ∽△ABC,
所以AP:AB=AQ:AC,
即4x:20=(30-3x):30,
解得x=10/3.

（2）因为△BCQ与△ABC等高，
所以S△BCQ:S△ABC=CQ:AC,
即CQ:AC=1:3,
因此CQ=10,x=10/3.
由（1）得，△APQ∽△ABC，相似比为2:3,
所以△APQ:△ABC=4:9,S四边形BCQP=5/9△ABC,
又△BCQ=1/3△ABC,
所以S△BPQ:S△ABC=2:9.

(3)因为△APQ∽△CQB,
所以CQ:AP=BC:QA,
即3x:4x=20:(30-3x),
左边同时消去x，解得x=10/9，
所以AP=4x=4×10/9=40/9.

应该是对的吧！^-^