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Answer 1

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Answer 2

导数及其应用测试题
一、选择题：
1．曲线y＝ex在点(1，e)处导数为( )
(A)1 (B)e (C)－1 (D)－e
2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处切线的倾斜角为( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)120°
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f '(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4．函数f(x)＝xlnx的最小值是( )
(A)e (B)－e (C)e－1 (D)－e－1
5．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f '(x)g(x)－f(x)g '(x)＜0，则当a＜x＜b时，一定有
(A)f(x)g(x)＞f(b)g(b) (B)f(x)g(a)＞f(a)g(x)
(C)f(x)g(b)＞f(b)g(x) (D)f(x)g(x)＞f(a)g(a)
二．填空题
6．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝______．
7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f'(1)＝______．

8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值是______；最小值是_______________．
9．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f '(x)，若f '(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为______．
10抛物线y＝x2－x与x轴所围成封闭图形的面积为
三、解答题：
11．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．

12．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．

13．设a＞0，函数 ．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式 对任意实数x恒成立，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2．
(1)若当x＝－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．

一、选择题：
1．B 2．B 3．A 4．D 5．C
二、填空题：
6．1 7．－2 8．5；－15 9．y＝－3x 10．
三、解答题：
11．(1)f '(x)＝(1＋kx)ekx，令(1＋kx)ekx＝0，得 ．
若k＞0，则当 时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减；当 时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增．
若k＜0，则当 时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增；当 时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减．
(2)若k＞0，则当且仅当 ，即k≤1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增；若k＜0，则当且仅当 ，即k≥－1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增．
综上，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
12．解：(1)f '(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f '(1)＝0，f '(2)＝0．
即 解得a＝－3，b＝4．
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f '(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f '(x)＞0；当x∈(1，2)时，f '(x)＜0；当x∈(2，3)时，f '(x)＞0．
所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c．
则当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，
所以 9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9，
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
13．解：对函数f(x)求导得：f '(x)＝eax(ax＋2)(x－1)．
(1)当a＝2时，f '(x)＝e2x(2x＋2)(x－1)．
令f '(x)＞0，解得x＞1或x＜－1；
令f '(x)＜0，解得－1＜x＜1．
所以，f(x)单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；f(x)单调减区间为(－1，1)．
(2)令f '(x)＝0，即(ax＋2)(x－1)＝0，解得 ，或x＝1．
由a＞0时，列表分析得：
x

1 (1，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当 时，因为 ，所以 ，从而f(x)＞0．
对于 时，由表可知函数在x＝1时取得最小值 ，
所以，当x∈R时， ．
由题意，不等式 对x∈R恒成立，
所以得 ，解得0＜a≤ln3．
14．(1)解：对函数f(x)求导数，得 ．
依题意有f '(－1)＝0，故 ．
从而 ．
f(x)的定义域为 ，当 时，f '(x)＞0；
当 时，f '(x)＜0；
当 时，f′(x)＞0．
从而，f(x)分别在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．
(2)解：f(x)的定义域为(－a，＋∞)， ．
方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式 ＝4a2－8．
①若 ＜0，即 ，在f(x)的定义域内f '(x)＞0，故f(x)无极值．
②若 ＝0，则 或
若
当 时，f '(x)＝0，
当 或 时，f '(x)＞0，所以f(x)无极值．
若 ，f '(x) ＞0，f(x)也无极值．
③若 ＞0，即 或 ，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实数根
．
当 时，x1＜－a，x2＜－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．
当 时，x1＞－a，x2＞－a，f '(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，所以f(x)在x＝x1，x＝x2处取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为 ．
f(x)的极值之和为f(x1)＋f(x2)＝ln(x1＋a)＋x12＋ln(x2＋a)＋x22
＝ln[(x1＋a)(x2＋a)]＋(x1＋x2)2－2x1x2＝ln ＋a2－1＞1－ln2＝ln ．

Answer 3

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