Question

求一道超简单数学题答案

锐角三角形abc中，cd、be分别是ab、ac边上的高，过d做bc的垂线交be于f，过e做bc的垂线，交cd于g，证明bc、de、fg三条直线相交于一点

Answer 1

过D作BC的垂线交BE于店F，交CA的延长线于点P，过E作BC的垂线，交CD于点G，交BA的延长线于点Q。
设DF垂直BC的垂足为M，EG垂直BC的垂足为N，
如果BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点，因为三角形相似，则FM/GN=DM/EN=PM/QN 所以，只要证明这个就行了，
因为PM平行QN所以，三角形PMC相似于三角形ENC
三角形DMC相似于三角形GNC
三角形QNB相似于三角形DMB
三角形ENB相似于三角形FMB
所以PM/EN=DM/GN 得DM*EN=PM*GN
QN/DM=EN/FM 得DM*EN=QN*FM
所以QN*FM=PM*GN
所以PM/QN=FM/GN
然后，因为这四个垂直，所以DM的平方=BM*CM
EN的平方=BN*CN
DM的平方/EN的平方=（BM*CM）/（BN*CN）=（FM/EN）*（DM/GN）
DM/EN=FM/GN