Question

已知函数f(x)=2acos^2x+bsinx*cosx，且f(0)=2,f(π/3)=1/2+√3/2。求f(x)的最大值和最小值

（2）若α-β≠kπ(k∈Z)，且f(α)=f(β)，求tan
(α+β)的值

Answer 1

(1)
先化简f(x)，得
f(x)=a*(1+cos2x)+b*(1/2)*sin2x
=a+a*cos2x+(b/2)*sin2x
∵f(0)=2
∴a+a=2，得a=1
∵f(π/3)=1/2+√3/2
∴a-(a/2)+b*√3/4=1/2+b*√3/4
=1/2+√3/2
∴b=2
∴f(x)
=1+cos2x+sin2x
=1+√2*sin(2x+π/4)
从而f（x）=sin2x+cos2x+1=√2sin（2x+π/4）+1≥1-√2
所以f（x）最小值为1-√2 同理最大值1+√2

(2)由f(α)=f(β)得sin(2α+π/4)=sin(2β+π/4)
∵α－β≠kπ,(k∈Z)
∴2α+π/4=(2k+1)π－(2β+π/4)
即α+β=kπ+π/4
∴tan(α+β)=1

Answer 2

1，将x=0，y=2代入函数求的a=1;同理代入f(π/3)=1/2+√3/2得b=2。所以，
f(x)=2cos^2x+2sinx*cosx
=cos2x + 1 + sin2x
=(√2)sin(2x+π/4) + 1.
因为sin(2x+π/4)∈[-1，1]，所以函数最大值和最小值分别为1+√2和1-√2。

2.f(x)的周期是π，在x=0时取得最大值为2.
α-β≠kπ(k∈Z)，说明α和β不是相距整数个周期的数，那么α和β就只能是关于对称轴对称的数。所以(α+β)一定是某个对称轴的横坐标值的二倍。
f(x)的对称轴方程为：x=k(π/2)(k∈Z)，所以α+β=kπ；
则tan(α+β)=tankπ=0