Question

在三角形ABC中，三个内角A,B,C所对的边为a，b，c，已知2B=A+C，A

在三角形ABC中，三个内角A,B,C所对的边为a，b，c，已知2B=A+C，a+根号b=2c，求sinC的值。

Answer 1

因为2B=A+C，A+B+C=180°，所以B=60°，A+C=120°，所以0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，又因为a＋根号2b=2c，所以sinA+根号2sinB=2sinC，所以sin（120°-C）+根号sin60°=2sinC，所以根号sinC-cosC=根号2，即sin（C-30°）=根号2/2，又因为0°＜C＜120°且sin（C-30°）＞0，所以0°＜C-30°＜90°，所以C-30°=45°，C=75°，所以sinC=sin75°=（根号6＋根号2）/4

Answer 2

设B=x,A+C=2x,

x+2x=180,B=60,A+C=120

由a+根2b=2c可知sinA+根2sinB=2sinC

所以sinA+根2sinB=2sin（120-A）

解得：根3cosA=根6/2

所以cosA=根2/2

所以A=45

C=180-（A+B）=75

所以sinC=（根6+根2）/4

Answer 3

2B=A+C,∠A+∠B+∠C=180°所以∠B=60°
由余弦定理可得 b^2=a^2+c^2-2acCosB (^2表示平方)
整理得 b^2=a^2+c^2-ac
又因为 a+√b=2c (√表示根号)
所以 b^2=(2c-a)^2
代入条件得 a^2+c^2-ac=4c^2-4ac+a^2
整理得 3c^2-3ac=0
3c(c-a)=0
c=a或c=0（舍去）
由此可得出角A等于角C,又因为B=60°，所以C=60°
所以sinC=√3/2

Answer 4

即算麻烦点根据正弦定理有sinA+根号sinB=2sinC
B=60°带进去计算即可！

Answer 5

∵2B=A+C,∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=60°
∵余弦定理b^2=a^2+c^2-2acCosB (^2表示平方)
∴b^2=a^2+c^2-ac
∵a+根号b=2c
∴b^2=(2c-a)^2
∴a^2+c^2-ac=4c^2-4ac+a^2
∴3c^2-3ac=0
∴3c(c-a)=0
∴c=a
∴∠C=60°
∴sinC=根号3/2