均值不等式有哪些?

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智慧女神坊
2023-08-09 · 超过148用户采纳过TA的回答
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均值不等式是数学中常用的一类不等式,主要用于刻画均值之间的关系。以下是六个常见的基本均值不等式:
1.算术均值-几何均值不等式(AM-GM不等式):
对于非负实数 a1, a2, …, an,AM-GM不等式表明它们的算术均值不小于几何均值,即
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
2.平方均值-算术均值不等式(QM-AM不等式):
对于非负实数 a1, a2, …, an,QM-AM不等式表明它们的平方均值不小于算术均值,即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ (a1 + a2 + … + an) / n。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
3.平方均值-几何均值不等式(QM-GM不等式):
对于非负实数 a1, a2, …, an,QM-GM不等式表明它们的平方均值不小于几何均值,即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
4.倒数均值不等式(HM-AM不等式):
对于正实数 a1, a2, …, an,HM-AM不等式表明它们的倒数均值不小于算术均值的倒数,即
n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an) / n。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
5.倒数均值-几何均值不等式(HM-GM不等式):
对于正实数 a1, a2, …, an,HM-GM不等式表明它们的倒数均值不小于几何均值的倒数,即
n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
6.平方均值-谐均值不等式(QM-HM不等式):
对于非负实数 a1, a2, …, an,QM-HM不等式表明它们的平方均值不小于谐均值,即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
这些基本的均值不等式在数学及其应用领域中有广泛的应用,可以用于证明不等式、优化问题的求解以及构造各种数学不等式等
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