Question

已知二次函数y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），设抛物线顶点为A，与x轴交于B,C两点，问是否存在

已知二次函数y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），设抛物线顶点为A，与x轴交于B,C两点，问是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m；若不存在说明理由

Answer 1

当Y=0时，X=2，m²+6
所以B、C亮点的坐标是（2，0）（m²+6，0）
抛物线的对称轴是X=m²/2+4，
代入函数关系式可以得到顶点坐标

根据抛物线的对称性，AB和AC一定是相等的长度

如果存在m使得△ABC为等腰直角三角形，那么直角就一定是角A
即AB ＼AC两条直线互相垂直，即其斜率积为0，得到一个关于m的方程，如果方程有解，那么就存在m

Answer 2

首先很容易知道AB=AC,若使△ABC为等腰直角三角形，即有AB²+AC²=BC² 函数与X轴交点即为x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的两个横坐标（x1,0),(x2,0) （假设x2>x1)
当x=(m²+8）/2时得A点纵坐标2（m²+6）-四分之m²+8=7m²/4+10
有等腰直角三角形性质可知有x2-x1=2(7m²/4+10)
(x2+x1)²-4x1x2=(m²+8）²-8（m²+6）=4（7m²/4+10)²
（m²+4）²=（7m²/2+20）²
即m²+4=7m²/2+20 m²=32 即存在实数m=正负4√2使△ABC为等腰直角三角形

Answer 3

应是AB、AC斜率积为-1（等腰是一定的）----修正回答1