Question

求解两道高一数学题

见图

Answer 1

一解：(1)∵在数列{a[n]}中，a[n+1]=(1+1/n)a[n]+(n+1)/2^n
∴两边除以(n+1)，并加上2/2^(n+1)，得：
a[n+1]/(n+1)+2/2^(n+1)=a[n]/n+2/2^n
∵a[1]=1
∴{a[n]/n+2/2^n}是常数为a[1]/1+2/2^1=2的常数数列
即：a[n]/n+2/2^n=2
∴a[n]/n=2-2/2^n=2(1-1/2^n)
∵b[n]=a[n]/n
∴b[n]=2(1-1/2^n)

(2)∵a[n]=2(n-n/2^n)
∴S[n]=2[(1+2+3+...+n)-(1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n)]

令：T[n]=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n
则：T[n]/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+n/2^(n+1)
将上面两式相减，得：
T[n]/2=(1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-n/2^(n+1)
=(1/2)[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-(1/2)^n-n/2^(n+1)
=1-(n+2)(1/2)^(n+1)
∴T[n]=2-(n+2)(1/2)^n

∴S[n]=2{n(n+1)/2-[2-(n+2)(1/2)^n]}
=n(n+1)+(n+2)(1/2)^(n-1)-4

二解：(1)∵数列{2a[n+1]-a[n]}是公比为1/3的等比数列
∴(2a[n+1]-a[n])/(2a[n]-a[n-1])=1/3
整理，得：6a[n+1]=5a[n]-a[n-1]
即：2a[n+1]-a[n]=(2a[n]-a[n-1])/3 【1】
∵a[1]=1/3，a[2]=5/18
∴{2a[n+1]-a[n]}是首项为2a[2]-a[1]=2/9，公比为1/3的等比数列
即：2a[n+1]-a[n]=(2/9)(1/3)^(n-1)=2(1/3)^(n+1)

∴a[n+1]+2(1/3)^(n+1)=[a[n]+2(1/3)^n]/2 【2】
∴{a[n]+2(1/3)^n}是首项为a[1]+2(1/3)^1=1，公比为1/2的等比数列
即：a[n]+2(1/3)^n=(1/2)^(n-1)
∴a[n]=(1/2)^(n-1)-2(1/3)^n

(2)S[n]
=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-2(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=2[1-(1/2)^n]-[1-(1/3)^n]
=2-(1/2)^(n-1)-1+(1/3)^n
=1-(1/2)^(n-1)+(1/3)^n

【此题给出的两个条件：{Log[2](3a[n+1]-a[n])}是公差为-1的等差数列，以及数列{2a[n+1]-a[n]}是公比为1/3的等比数列，其实是等价的。 【1】、【2】式可以用待定系数法获得，但由于都比较简单，直接观察即可获得。】