Question

设0<X1<3,X(n+1)=√[Xn(3-Xn)] (n=1,2......) 证明{Xn}的极限存在，并求此极限

在解这到题时为什么n>1，当n=1时如何解？？？

Answer 1

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2

所以｛xn}有界

又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)] >=√[Xn(3-3/2)] =√(3/2)xn>=xn

所以{xn}递增

单调有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则

x=√x(3-x)解得x=3/2

所以limxn=3/2

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

Answer 2

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2
所以｛xn}有界
又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)] >=√[Xn(3-3/2)] =√(3/2)xn>=xn
所以{xn}递增单调
有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则
x=√x(3-x)解得x=3/2
所以limxn=3/2

Answer 3

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2
所以｛xn}有界
又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)]
>=√[Xn(3-3/2)]
=√(3/2)xn>=xn
所以{xn}递增
单调有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则
x=√x(3-x)解得x=3/2
所以limxn=3/2