Question

若函数y=a^x(a>1)的定义域与值域均为[m,n],则a的取值范围是...

2010苏北四市二模填空最后一题
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Answer 1

解：函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n]，而函数f(x)=a^x(a>1)是单调的，因此，f(m)=m，f(n)=n.因此f(x)=x即a^x=x必须至少有一解，两边取对数分离参数得：lna=(lnx)/x，上述问题即，直线y=lna与函数y=(lnx)/x需至少有一个交点，已知a>1,而函数y=(lnx)/x的值域为（-∞，1/e]（这个问题如果你不会，我们可以看常见函数y=(lnx)/x的版块研究：求导：得y’=(1-lnx)/x^2,至此很容易得到，函数在（0，e）上单调递增，在（e,+∞)上单调递减，，因此函数在x=e处取得最大值1/e.)，因此0<lna<=1/e（★：这里你最好自己能把函数
y=(lnx)/x的大致图象画出来看看就知道了），所以:1<a<=e^(1/e)，
所以，函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],则a的取值范围为：
（1，e^(1/e)]

Answer 2

解：f（x）=ax（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，
那么y=f（x）与y=x的图象有两个交点
即方程f（x）-x=0有两个不相等的实数根．
设g（x）=f（x）-x=ax-x
则g'（x）=axlna-1
令g'（x）=0 得 ax=1lna＞0，说明a＞1
所以x=loga(1lna)=-loga(lna)
所以当x=-loga（lna）时，g（x）取得最小值a-lna(lna)+loga(lna)
由a-lna(lna)+loga(lna)＜0 得
1＜a＜e1e
故答案为：（1，e1e）．

Answer 3

不知道准确不准确，但是知道思路确实是我这样的。
y=a^x,函数递增， 值域是 （0 ，正无穷），
又因为定义域为（m,n)
所以 有y(m)=m , y (n)=n.
所以联想到 函数y=x 与函数y= a^x 必 有两个交点。
然后再坐标上画出两个函数的图形， 可知， 函数y=a^x
在x属于（0，正无穷）上 必有一个区域是 y' 小于 y=x 的斜率 不然就没有交点。令两个函数相等（或者两个函数的斜率）
得 ： a^x=x ，
a^xlna-1=0 所以只有当函数在某个区域 a^xlna-1<0 时 才有可能有交点。
因为题目中a>1 ，且 函数 a^xlna-1 递增， e^xlne-1>=0 所以
1<a<e

Answer 4

y=a^x,(a>1 所以 函数递增
又因为定义域为（m,n)-》对应值域是（m,n) 所以
可以看成解当 y=x 与 y= a^x 有两个交点时a的范围。
当两条直线相切时
得到 a^x=x ① a^x lna=1②
将一式带入二式解得 x=1/lna 再将此带入一式
a^(1/lna)=lna--->因为logae=lga/lge=1/(lge/lga)=1/logea=1/lna
a^(1/lna)=lna--->a^logae = lna-->lna=e-->a=e^e
当它们相交时；
即保证当 y=a^x 导数等于1时 y=a^x 小于 y=x

而a^x-x 这个函数关于a 是递增的
所以a=e^e是等于0
则a<e^e 时在y=a^x 导数等于1时函数(a^x-x)值小于0
所以 1<a<e^e