Question

微积分旋转体绕y轴旋转体积~我看不懂图片上的公式~请大家分析下

主要是Vy的体积看不懂~~~

Answer 1

积分= 无穷小体积的总和
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x, △x-->0, n--> 无穷大
则函数绕x轴旋转，每一份的体积为一个圆柱
半径=f(x) 圆的面积S=π[f(x)]^2,厚度= △x
每一份的体积 △V= π[f(x)]^2 *△x
积分 Vx= 无穷小体积△V 的总和= ∫π[f(x)]^2dx=π∫[f(x)]^2dx

函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，
所以圆环底面面积约为2πx*[(x+△x)-x]= 2πx*△x
该圆环柱的高为f(x)
每一份的体积 △V= 2πx*f(x)*△x
所以当n趋向无穷大时，
积分 Vy=无穷小体积△V 的总和= ∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx

Answer 2

沿x轴旋转时 半径=f(x) 圆的面积S=π[f(x)]^2

dV=π[f(x)]^2dx

积分 Vx=∫π[f(x)]^2dx
=π∫f(x)^2dx

沿y轴旋转时 圆环的面积S=π(x+dx)^2-πx^2
=π[(x+dx-x)(x+dx+x)]
=πdx*(2x+dx)
=2πxdx+π(dx)^2
因为 dx 无限小 所以 π（dx）^2 也是无限小
所以上式就可以取 2πxdx

dV=2πxdx*f(x)=2πxf(x)dx

积分 Vy=∫2πx*f(x)dx=2π∫xf(x)dx

Answer 3

对y轴旋转可把旋转体分成无数个厚度为Δx的圆环体，每个这样的圆环体的高度为f(x),体积为2πf(x)Δx,再积分就是那个公式了。

Answer 4

确实不能解释
正常应当是：大的圆柱体积（以b为底半径，以f(b)为高）
减去 中心的小圆柱体积（以a为底半径，以f(a)为高）
再减去 曲边旋转的体积（以f（a）为下限，以f(b)为上限，以y=f(x）的
逆函数的平方为积分函数）

楼上的解释颇有道理，实际是具体的微元法，不过不好理解，主要是取近似。

Answer 5

我是理解成一个卷筒纸，一卷的长度(一个圆周2πx)×一卷的高f(x)×厚度dx