Question

微积分旋转体绕y轴旋转体积~我看不懂图片上的公式~请大家分析下

主要是Vy的体积看不懂~~~

Answer 1

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x。

则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。

该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x。

该圆环柱的高为f(x)。

所以当n趋向无穷大时，Vy=∫（2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

几何学发展

几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。

Answer 2

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x。

则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。

该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x。

该圆环柱的高为f(x)。

所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

几何意义

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

Answer 3

看图解，这个绕y轴的公式需要认真理解。将绕成的立体图形随便截取一段切开后得到一小卷，将卷展开后是一段长方体，2xπ是其长，ᐃx是其宽，所以2xπ·△x是其面积，再乘f(x)就是长方体体积。最后将区间内的无数个这样的小长方体积分即可。参考图示加强理解即可。望采纳。

Answer 4

取柱壳微元：半径为(x+dx)的圆柱体抠掉半径为x的圆柱体。柱壳微元体积就等于微元面积×高：
dV=dS×h=πR²h
h也就是f(x)。
先计算微元面积，把内部面积抠掉：
dS=π(x+dx)²-πx²
=2πxdx+(dx)²
其中(dx)²是dx项的高阶无穷小，所以舍去。
dV=dS×f(x)=2πxf(x)dx

Answer 5

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x
该圆环柱的高为f(x)
所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx