Question

f(x)=x²+bx+c,∀x∈[-1,1],有|f(x)|≤1,求证|1+2b+3c|≤4

Answer 1

我们需要证明的是在给定条件下，不等式 |1 + 2b + 3c| ≤ 4 成立。
首先，我们知道对于任意 x ∈ [-1, 1]，有 |f(x)| ≤ 1。因此，对于 x = -1 和 x = 1，都有 |f(-1)| ≤ 1 和 |f(1)| ≤ 1。
根据题目中的函数 f(x) = x² + bx + c，我们可以计算在 x = -1 和 x = 1 时的函数值：
1. 当 x = -1，f(-1) = (-1)² + b(-1) + c = 1 - b + c。
2. 当 x = 1，f(1) = 1² + b(1) + c = 1 + b + c。
由于 |f(-1)| ≤ 1 和 |f(1)| ≤ 1，我们可以得到以下两个不等式：
1. |1 - b + c| ≤ 1
2. |1 + b + c| ≤ 1
将这两个不等式相加，得到：
|2 + 2c| ≤ 2
然后，我们来处理要证明的不等式 |1 + 2b + 3c| ≤ 4。注意到：
1 + 2b + 3c = (2 + 2c) + b
根据前面得出的不等式 |2 + 2c| ≤ 2，我们可以得到：
|1 + 2b + 3c| = |(2 + 2c) + b| ≤ |2 + 2c| + |b| ≤ 2 + |b|
现在我们知道 |1 + 2b + 3c| ≤ 2 + |b|，我们需要证明 |b| ≤ 2。然而，这是显然成立的，因为 b 是任意实数，而我们有 |f(x)| ≤ 1 对于所有 x ∈ [-1, 1]。
因此，我们可以得出：
|1 + 2b + 3c| ≤ 2 + |b| ≤ 2 + 2 = 4
所以，我们证明了在给定条件下 |1 + 2b + 3c| ≤ 4 成立。