Question

已知过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=5/2p，求AB所在的直线方程.

Answer 1

解：抛物线的焦点为F(p/2，0)
直线AB的斜率不可能为0，所以设AB的直线方程为
x=my+(p/2)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB与抛物线方程联立消x得y²-2pmy-p²=0
由韦达定理有
y1+y2=2pm
y1y2= -p²
所以|AB|²=(x1-x2)²+ (y1-y2)²
因为点A、B在直线x=my+(p/2)上，所以x1=my1+(p/2)，x2=my2+(p/2)，代入上式化简得
|AB|²=[(my1+p/2)-( my2+p/2)]²+ (y1-y2)²
=(m²+1) (y1-y2)²
=(m²+1)[(y1+y2)²-4y1y2]
将韦达定理代入得
|AB|²=(m²+1)[(2pm)²-4(-p²)]=4p²(m²+1)²
由已知|AB|=(5/2)p，所以
[(5/2)p]²= 4p²(m²+1)²
解这个方程得m=±(1/2)
代入前面所设的AB的直线方程化简得：
直线AB：2x±y-p=0

Answer 2

焦点(p/2,0)
准线x=-p/2
直线y=k(x-p/2)=kx-kp/2
代入y²-2px=0
k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
x1+x2=(k²p+2p)/k²

抛物线定义
A和B到焦点距离等于到准线距离
A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
所以AB=A到准线距离+B到准线距离
=x1+p/2+x2+p/2=5/2p
x1+x2=3/2p
(k²p+2p)/k²=3/2p
(k²+2)/k²=3/2
2k²+4=3k²
k²=4
k=±2
所以
2x+y-p=0和2x+y-p=0

Answer 3

a=5,b=3,c=4
F1(-4,0),F2(4,0)
F1F1=2c=8
三角形面积等于8，底是8
所以三角形的高=2
即P的纵坐标的绝对值是2
所以x^2/25+4/9=1
x^2=125/9
x=±5√5/3
所以有四个点
所以P(5√5/3,2),(5√5/3,-2),(-5√5/3,2),(-5√5/3,-2),

Answer 4

我咋算的是y= -4/3x p/2