Question

设双曲线x2/a2-y2/3=1的两个焦点分别是F1.F2.

设双曲线x2/a2-y2/3=1的两个焦点分别是F1.F2.离心率是2.渐近线分别是L1.L2。若A.B分别为L1.L2上的点，且2倍的AB等于5倍的F1F2，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

Answer 1

由题意可知
b=√3,e=2=c/a,则，4a^2=a^2+3
a=1,c=2a=2
渐近线方程y=±x√3/a=±x√3
双曲线方程为：x^2-y^2/3=1
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，且A在y=x√3上，B在y=-x√3上
y1=x1√3..........................................1)
y2=-x2√3.........................................2)
则有，4[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=25*4.................3)
线段AB的中点M(x,y)
则,x1+x2=2x,y1+y2=2y
1)-2)得:y1-y2=(x1+x2)√3=2x√3....................4)
1)+2)得：y1+y2=2y=(x1-x2)√3......................5)
将4）、5）代入3）得：
12x^2+4y^2/3=25
即，x^2/(25/12)+y^2/(75/4)=1
线段AB中点M的轨迹方程为x^2/(25/12)+y^2/(75/4)=1 ，轨迹为椭圆曲线