Question

如何计算指数函数的导数？

Answer 1

指数函数的导数可以通过以下步骤计算：
1. 确定指数函数的形式。指数函数通常可以表示为f(x) = a^x，其中a为底数。
2. 使用指数的基本性质，即a^x = e^(x ln a)。其中e是自然对数的底数。
3. 根据链式法则，导数可以通过分别求底数和指数的导数，并将它们相乘得到。
4. 底数a的导数为0，因为它是常数。
5. 指数x的导数为1。
6. 根据链式法则，指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x ln a。
请注意，如果指数函数的底数a为e，则导数可以简化为f'(x) = e^x。

Answer 2

要计算$x$的导数，其中$x \neq 0$，我们可以使用导数的定义和指数函数的导数规则。
我们有 $f(x) = x^{-1}$，其中 $x \neq 0$。根据导数的定义，导数可以定义为极限：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
将 $f(x) = x^{-1}$ 代入上式，我们得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-1} - x^{-1}}{h}$$
将右边的分式的两项通分，得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)}$$
化简上式：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)}$$
化简后，我们可以约去$h$并将极限移到分母上：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$$
取极限：
$$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$$
所以$x$的导数为$-\frac{1}{x^2}$，其中$x \neq 0$。