Question

求解一道高数极限的题（急求高手回答）

题目是高数一上的一道课后习题，本人不解，题目如下：

当x->2时，y=x2->4。问&等于多少，使当|x-2|<&时，|y-4|<0.001？

《高等数学习题详解》上有答案及解题步骤，我仍然不懂，希望能有高手解释下，解法如下：

解：因为 lim x2 =4(x->2)
所以 对于任意的@>0，总存在&=min{1,@/5},当|x-2|<&时
|x2-4|=|x+2|*|x-2|<5&=@
所以 取@=0.001，则&=min{1,0.001/5}=0.0002。

【方法点击】 由于&不唯一，@任意小，
因此设|x-2|<1，
即1<x<3，|x2-4|=|x-2|*|x+2|<5|x-2|。
要使|x2-4|<@,
只要5|x-2|<@,
即|x-2|<@/5，&=min{1,@/5},
使|x2-4|<@。

我不会输入数学里面的某些特殊符号，所以分别用&和@表示，@表示小于任意给定的正数的那个符号。x后面的数字表示几次方。

希望能有高手帮我解惑，谢谢...

Answer 1

1、函数极限比数列极限要复杂一些，它包括两个极限过程，即x趋近于某个数时函数值y趋近于某个数。
2、请对照一下这样理解是否更佳
若lim x2 =4(x->2)，则根据函数极限定义，对于任意ε>0,必存在δ>0，当|x-2|<δ时，必有|x2-4|<ε，而|x2-4|=|x-2||x+2|，现在要用缩放法把|x+2|化出来，因为x->2，所以我们不妨设x与2的距离小于1，即|x-2|<1，1<x<3,则x+2|<5
|x-2||x+2|<5|x-2|,若|x2-4|<5|x-2|<ε,只要|x-2|小于ε/5即可。
因此，取δ=min{1,ε/5}，这样就能保证当x->2时，对于任意的ε>0,只要满足|x-2|<δ,就能保证倒推出|x2-4|<ε。
比如，对于ε=0.001，此时δ=min{1,0.001/5}=0.001/5，考虑|x2-4|=|x-2||x+2|
因为|x-2|<δ=1.001/5<1,所以|x+2|<5,|x2-4|=|x-2||x+2|<5δ=5*0.001/5=0.001=ε，即|x2-4|<ε

Answer 2

实在不知道你困惑什么。解题步骤很详细了。看来是不理解极限的@-&定义。
对于任意的@>0（这是y接近4的程度要满足的要求，越小，说明y越接近4），
总存在&=min{1,@/5},（这是要你找到x接近2的程度，）
当|x-2|<&时（只要x接近2的程度达到这个标准）
|x2-4|=|x+2|*|x-2|<5&=@（y接近4的程度都会满足要求）
就是说：
y越接近4是要多接近就多接近，所以y的极限是4。
这一题是求要求y接近4的程度小于0.001时，x接近2的程度要达到什么要求？

Answer 3

1、函数极限比数列极限要复杂一些，它包括两个极限过程，即x趋近于某个数时函数值y趋近于某个数。
2、请对照一下这样理解是否更佳
若lim
x2
=4(x->2)，则根据函数极限定义，对于任意ε>0,必存在δ>0，当|x-2|<δ时，必有|x2-4|<ε，而|x2-4|=|x-2||x+2|，现在要用缩放法把|x+2|化出来，因为x->2，所以我们不妨设x与2的距离小于1，即|x-2|<1，1<x<3,则x+2|<5
|x-2||x+2|<5|x-2|,若|x2-4|<5|x-2|<ε,只要|x-2|小于ε/5即可。
因此，取δ=min{1,ε/5}，这样就能保证当x->2时，对于任意的ε>0,只要满足|x-2|<δ,就能保证倒推出|x2-4|<ε。
比如，对于ε=0.001，此时δ=min{1,0.001/5}=0.001/5，考虑|x2-4|=|x-2||x+2|
因为|x-2|<δ=1.001/5<1,所以|x+2|<5,|x2-4|=|x-2||x+2|<5δ=5*0.001/5=0.001=ε，即|x2-4|<ε