Question

证明当x→0时无穷小量ln√（1+x/1-x）与x是等价无穷小

Answer 1

lim(x→0) [ln√（1+x/1-x)] / x
=lim(x→0) (1/2x)*ln[(1+x)/(1-x)]
=1/2 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)] / x

(因为x→0时，ln(1+x)→0、ln(1-x)→0 、 x→0，上下同时求导)
=1/2 lim(x→0) [ln(1+x)]'/x' -1/2 lim(x→0) [ln(1-x)]'/x'
=1/2 lim(x→0) 1/(1+x) -1/2 lim(x→0) [-1/(1-x)]
=1/2 [1/(1+0)] + 1/2 [1/(1-0)]
=1/2 + 1/2
=1

所以,当x→0时无穷小量ln√（1+x/1-x）与x是等价无穷小

Answer 2

ln√（1+x/1-x）=（1/2)ln(1+2x/1-x)=(1/2)(2x/1-x)
所以（ln√（1+x/1-x））/x=(x/1-x)/x=1/(1-x)=1