Question

求以下定积分的值！！！！！！

我在推球表面积公式的时候遇到的，很可恶，任何计算器计算都报MATH ERRO，希望有哪位高人告诉我该怎么推。另外，求如何计算带根号的函数的导函数以及不定积分，如∫根号下（1-X^2）。两者都给我了我才能放分。如果答案足够满意，再加50分！！！！！！
问题： πr 2πtan（180l/（π*r））
∫ ———————————————————
0 根号下(tan（180l/(π*r)）^2+1)
其中r为常数，可以取任意正实数，l是自变量，求值！（最好带着r表示）

Answer 1

解：取上半球面的方程为z=(a^2-x^2-y^2)^0.5,区域D为圆x^2+y^2≤a^2，由球面的方程求得：dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.

从而：1+(dz/dx)^2+(dx/dy)^2=a^2/(a^2-x^2-y^2)

由曲面面积公式，上半部表面积是：A=∫∫(D)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dxdy

注意被积函数在D的圆周上不连续，因之，取D1:x^2+y^2≤b^2(b＜a)代替D为积分区域后令b→a。为计算方便起见，将直角坐标变换为极坐标，于是：

∫∫(D1)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dxdy=a∫(2π，0)dθ∫(b,0)r/(a^2-r^2)^0.5dr

                               =2πa∫(b,0)r/(a^2-r^2)^0.5dr

                               =2πa[a-(a^2-b^2)^0.5]

当b→a是，它的极限是2πa^2，而求得全部表面积是这极限值的2倍，即

S圆表面积=4πa^2.

Answer 2

题在哪？一般带根号的不是分部积分就是换元