Question

在三角形ABC所在的平面内有一点P如果向量PA+PB+PC=AB则SPBC与SABC的比值为

Answer 1

PB=PA+AB
PA+PB+PC=PA+(PA+AB)+PC=AB
2PA+PC=0
说明P在AC上，且|PC|=2|PA|
所以SPBC=2*SPBA
SPBC=2/3*SPABC

Answer 2

p点的位置有3种情况，位于ab边的外侧、位于bc边的外侧
位于ac边的外侧：
3pa-pb+λpc=0，即：pb-pa=2pa+λpc=ab
下面来看这3种情况：
1
如果p点位于ab边的外侧，因λ>0，2pa+λpc位于pa与pc之间
不可能等于ab
2
如果p点位于bc边的外侧，因λ>0，2pa+λpc位于pa与pc之间
不可能等于ab
3
如果p点位于ac边的外侧，因λ>0，2pa+λpc位于pa与pc之间
则存在可能，使得2pa+λpc=ab
此时，过p点作pd∥ab，交bc于d，交ac于e
令：pe=kpd，s△abc=3s△pbc，即：pd=ab/3
故：pe=(2k/3)pa+(λk/3)pc，故：2k/3+λk/3=1
即：k(λ+2)=3，又：|ae|/|ec|=(λk/3)/(2k/3)=λ/2
故：|ed|/|ab|=|ec|/|ac|=2/(λ+2)
即：ed=(2/(λ+2))ab，又：ed=(1-k)pd=(1-k)ab/3
故：2/(λ+2)=(1-k)/3，即：(1-k)(λ+2)=6
即：k=1/3，λ=7