Question

证明不等式 e^x≥x^e 对于任意的 x∈R+ 恒成立。

方法越多越好。
加点难度：求满足条件的a的值： a^x≥x^a 对于任意的 x∈R+ 恒成立，且a为正实数。

Answer 1

令f(x)=e^x/x^e,对其求导数，可得d(f)=e^x *x^（e-1)*(x-e)/x^2e
很显然，当0<x<e时，d(f)<0,当x>e时，d(f)>0。因此，x=e是函数f(x)的极小值点，即对任意x>0,有f(x)>=f(e)=1，即e^x>=x^e.
补充问题，方法类似
由于涉及到对a值的讨论所以，显得复杂一些。但是阁下没有给出相应的奖励，这里，本人就不在做下去了。

Answer 2

两边取底为a对数（这里记为lg)
等价于x>=algx
等价于x/lgx>=a恒成立
用换底公式有lna*(x/lnx)>=a
先构造函数f(x)=x/lnx
求导f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2
所以f(x)在(0,e]减函数，[e，正无穷)增函数
下面分类讨论，
a=1显然不成立
Case1:
a>1,则lna>0
等价于x/lnx>=a/lna
而x/lnx>=f(e)=e
所以e>=a/lna,又a/lna>=e
所以a/lna=e 所以 a=e
Case2:a<1,lna<0
于是有x/lnx<=a/lna,但x/lnx无最大值（趋于无穷），这显然不是恒成立的
综上，a=e

Answer 3

e=[1+(1/x)]^x=2.71828.....