Question

关于用特征方程法求数列通项

我正高二 数学还行 没学竞赛
对微积分和一些难题比较感兴趣
只是想了解：
什么是特征方程
特征方程法能求那些数列的通项

希望说得详细易懂
真的没用吗？
我见到一般的参考书上都是列出了6－7种递推形式，给出特定的求法，都是变相配出等比等差数列
但这些方法不尽繁多，而且难以理解，并且有时还会遇到一些带平方的（非线性？）系数，
有些能求通项有些不能，但最终往往要用An证明不等式....
所以我就蒙了。。。

Answer 1

我之前在网上找的。正好没删。感觉比楼上的实用。有例题,建议你自已把例题推一下。
其实感觉高考不用掌握特征根的。不过掌握了更好
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数列{An}：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0
则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β
1).当α≠β时，An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)
2).当α＝β时，An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通项公式中，建立方程组解之即可
(1).数列{An}满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An
解：特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2
设An=(kn+m)*α^(n-2) ，
所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0
所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)

(2).裴波那契数列{An}满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An
解：特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/2
设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) ，则有
k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1
解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β
所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n