Question

关于用特征方程法求数列通项

我正高二 数学还行 没学竞赛
对微积分和一些难题比较感兴趣
只是想了解：
什么是特征方程
特征方程法能求那些数列的通项

希望说得详细易懂
真的没用吗？
我见到一般的参考书上都是列出了6－7种递推形式，给出特定的求法，都是变相配出等比等差数列
但这些方法不尽繁多，而且难以理解，并且有时还会遇到一些带平方的（非线性？）系数，
有些能求通项有些不能，但最终往往要用An证明不等式....
所以我就蒙了。。。

Answer 1

特征方程是把递推式中的 an+1 an,an-1 这些数列变量项，全都换成X，得到的一元方程，

特征方程的解就是判断数列通项形式的依据。

特征方程法只能求三种递推，常系数一阶线性， 常系数二阶性，和常数数分式式递推。 其它的类型我还没见过。

至于上述三类的具体式子和处理情形，我就不打字了，楼主百度搜索一下“不动点法求递推”一搜一大堆。

在高考中一般都不会出这种常见的题目，所以在解决递推式的处理上，
一般都是通过f(an,an+1)=0转化变形成一种双层复合形式：
即把递推式变形为以下形式：
g(an+1,n+1)=g(an,n)+d
g(an+1,n+1)=g(an, n)q
g(an+1,n+1)=q g(an, n)+d
.....
这样把g(an,n)这一个整体的通项表达式g(an,n)=h(n）写出来，然后再通项解关于an的方程得到an的通项。。

上面这种转化，才是真正具有统一通用的递推处理方法。

而对于特征方程法（不动点法）虽然是一个偷懒方法，但它只能解决特定的递推式求通项。对于高考，命题人不是傻子，不会拿平时常见的这种类型出题的。所以不要把不动点法当成总靠山，而是用来开阔思维和视野。

特征方程法不是解决长远递推问题的方法，要学好递推，由其是“非线性”递推，我们必须要学会把数列递推式，整理变形成上述几种每个an项都复合了同一种g()法则的形式。经过我的大量题目的总结，高中无论是高考，还是竟赛，只有简单的数列才能使用那些特殊的解法，而对于那些并不简单的题，用特殊方法解决不了，最后肯定都归到我上述所述的方法上。这个方法我个人把它称为“复合转化法”。

楼主看一下09年的高考数列的那一道题，就是使用的这种解法。

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这个要看楼主是什么目的，如果是为了希望杯，那么很多竞赛基本上都是要考查你的数学配算变形能力，肯定还是转化成上面我说的三种框架形式。这个只要多多练题，熟了也就会了。你现在急，是因为做的太少，变形的经验少。
如果楼主是为了高考，那么建议楼主多看看近几年高考中数列题目的出题规律：有递推，肯定都是简单的变形，最后都是我说的要化成上面三种框架形式，因为数列问题，线性递推都有统一性的规律可言。但是对于非线性递推，各式各样的运算很多，目前据我个人研究，还没有一种统一通用的思想和规律。只能是上面我所说的，变形成三种形式。在高考中，出现递推，不可能会出现很变态的无法用复合转化的非线性的递推式。如果它出了，就是超出考纲了。！！！！

比如我说的09年的高考那道递推题就很简单，一步移项就能变形成f(an+1,n)=f(an,n)+g(n)的形式，然后使用变系数的线性递推方法。而且不得不提的是：这道题第一小问，就是指定性的问题：证明g(an,n)是一个等差数列，这是在间接引路，这就是已经告诉你变形的方法了，只要你心中有复合变形的处理思想，很容易就解出的。（本来这道题可以再难一点，根本不需要第一问，直接就求第二问。但是就算没有第一问，用肉眼一看也一下子就能变形出。）

此外，即便高考试卷的命题人，我想他们也明白：非线性递推只能用数学运算变形，除之之外没有其它的统一规律了。所以那些高考命题人，对非线递推也没有多深的造诣，他们对这块领域有着一种“畏惧”。

对于非常复杂的非性系递推，连那些高考命题人都没有搞清楚，楼主这么其人忧天干什么？？？？

你想想，一个求值域问题，解析式中带有对数，10次方的项，还带有5层根号，总之一个很复杂的函数解析式，求值域。或许世界上有数学尖子能求出来，但是对于现在一个高中生，研究它有什么用呢？有什么意义呢？我们只需掌握能解决普遍问题的普及的方法就行了。也就是说，就比如具体函数，我们从初中到高中，只学习一次，二次，反比，幂，指，对，还有y=x+1/x 和 一元三次函数，除此之外，就再也没有复杂的形式了。即便出现一个复杂函数求值域，也是这个复杂函数要么能变形成为上面基本函数的复合，要么能求导找单调性， 他不可能会出现我们所学范围解决不了的难题。

所以数列也和函数一样，即然高中基本数列就一个等比和等差，那么其它数列出题，肯定就是通过复合法，转化为基本递推的形式。这才是命题人的意愿。 如果他出的递推式，转化不了的基本数列，那么这种递推就不是高中研究范围的东西了，命题人要敢出这种题目，第一，这种题目，肯定是，连很多特级重点老师和教育界人士都做不出来，或许只有他自己会做。第二，他会被社会骂死，使自己下不了台。

目前我碰到的高中和大学信号与系统中的非线性递推的处理，还没有任一个特例不是用复合转化法解决的。
记住 ：高考中考的正是这一点！！考的就是你递推式上的运算变形。楼主，脚踏实地的去接受它吧。 它是学习高中递推的唯一正确之路！！

Answer 2

以下来自百度百科，比较复杂，简单的说，就是将数列整理出一个递推式，通过递推式求出其通项公式。多用于可使用累加、累乘法的特征方程，如A(n+1)-An=n之类的

特征方程 一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)
设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn
C1=s+r
C2=-sr
消去s就导出特征方程式 r*r-C1*r-C2=0
特征方程用于求解特征向量.
递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。
关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：
设递推公式为 其特征方程为 ，
1、 若方程有两相异根 2、 若方程有两等根
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。
最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

Answer 3

如何用特征根方程求解数列，看一个著名的数列:
已知a1=1,a2=1 a(n)=a(n-1)+a(n-2)
这就是斐波那契数列，可以说这个数列不用特征方程无法求出其通项公式
如何去求，我给出思路
首先可以列出特征方程：x^2=x+1
即把a(n)看作x^2项，把a(n-1)看作x的一次项，把a(n-2)看作常数项
然后解出上述方程的解，设为x1,x2
那么此数列的通项公式为：a(n)=c1*x1^n+c2*x2^n
其中c1,c2为待定系数，由初始条件所决定
根据a1,a2的值联立可求出c1,c2
其实特征方程法本身很好理解，关键是给你一个数列，你怎样才能转化成
f(n)=pf(n-1)+qf(n-2)这样的形式，其中f(n)并不一定就是a(n)
它可以是a(n)-a(n-1)或者a(n+1)-a(n)或者a(n)+a(n-1)等等这样包括n的函数
请看下例：
已知a1=1,a2=1,a3=2 a(n+1)=4a(n)-3a(n-1)-2a(n-2) 求通项公式
你可以作如下化简：
a(n+1)-2a(n)=2(a(n)-2a(n-1))+a(n-1)-2a(n-2)
这样可以令b(n)=a(n)-2a(n-1)
有b(n+1)=2b(n)+b(n-1)
这个数列就可以用特征方程法去求解通项公式，求出b(n)之后就可以求a(n)了

其实你完全可以去找一此数学竞赛资料看看，那上面有非常详细的说明，我相信你能够完全驾驭数列题，说实话，高中数学惟一能体现人的智商的就是递推数列的求解

Answer 4

特征方程 一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)
设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn
C1=s+r
C2=-sr
消去s就导出特征方程式 r*r-C1*r-C2=0
特征方程用于求解特征向量.
递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。
关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：
设递推公式为 其特征方程为 ，
1、 若方程有两相异根 2、 若方程有两等根
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。
最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

Answer 5

很精炼地回答你：所有常系数线性差分方程都是有一整套特征方程方法的，并不仅限于二阶（如楼上所说的斐波那契数列什么的）
具体办法：将递推式中下标为n+k的项统统换成x的k次方（k=0就是常数项），系数就是原递推式中的n+k次方所对应的系数，建立关于x的多项式方程。解这个方程，如果是实数解t，重数为r，那么所对应的基底就是t^n,n*t^n,...,n^(r-1)*t^n 然后这个数列的通项就可以写成这些基底的线性组合，就是说随便找常数相乘再相加。这些常数最后将由初始条件决定。如果是复数根，只需要把t^n改成模长的n次方乘以sin（n*辐角）和模长的n次方乘以cos（n*辐角）代替t^n和t的共轭的n次方，再做线性组合。