Question

已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,x2-4mx+4m2-4m-5=0.试求方程的根都是整数的充要条件?

x2是"x的平方"的意思
我觉得专家您这种方法不够严密.能不能给个严密点的方法.

Answer 1

1.首先讨论当m=0时，方程x^2-4mx+4m^2-4m-5=0.的根不是整数

2.当m≠0时，方程mx^2-4x+4=0的根为整数的必要条件是△为完全平方数，而方程x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的根为整数的充要条件是△为完全平方数，不管怎样，先求△，充要条件只不过在这基础上再缩小一点范围。

△1=16(1-m) △2=4(4m+5) 显然△1=16-16m≥0 △2=4(4m+5)≥0
-4/5≤m≤1，只有当m=1或-4/5时，△1△2均为完全平方数，这只能保证x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的根为整数，所以要检验一下方程mx^2-4x+4=0
当m=1时，成立，当m=-4/5时 有一根为5/4.

所以，关于x的一元二次方程mx^2-4x+4=0,x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的根都是整数的充要条件是m=1

ps:
专家的方法中，显然忽略了一个因素：
“x=[2±2√(1-m)]/m → m=1”这一步中等于默认了m是整数，而m可以是分数，比如-5/4。
luckiee - 助理 三级回答的过程都正确，只是思路有点乱，我有一个体会，凡是一元二次方程的整根问题，都是考虑△是完全平方数这一必要条件，因为这个缩小范围最快，最容易解题。当然也可以用判别式大于0缩小范围。luckiee - 助理 三级回答时显然考虑了许多没用的步骤，这对于你解题竖立明确的目的性是没有好处的，我的老师总是教我，每一步都要有自己的想法，都要有目的。另外补充一点，如果一个一元二次方程参数是整数，根也是整数，解这类问题也用△，但要用到一些数论知识，你可以去看一下。

Answer 2

证明：1。设方程mx^2-4x+4=0的两个整数根为x1,x2
方程x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的两个整数根为x3,x4

2。根据方程判别式，易知：
(-4)^2-4m*4=16(1-m)>=0
(-4m)^2-4(4m^2-4m-5)=4(4m+5)>=0
解上述方程组，得-5/4=<m<=1

3。
a)根据方程根与系数的关系，易知：
x1+x2=4/m
x1*x2=4/m
由于x1,x2均是整数，其和、积也为整数，即4/m为整数
在-5/4=<m<=1中，4/m为整数时，m只能取如下值：
-1=<m<=1,且m不等于0
b)同理，对方程x^2-4mx+4m^2-4m-5=0：
x3+x4=4m
x3*x4=4m^2-4m-5
在-5/4=<m<=1中,4m为整数，m只能取
-5/4,0,±1/4,±1/2,±3/4,±1
上述值代入4m^2-4m-5中，不难发现，只有
m=±1,0时，4m^2-4m-5为整数
综合a)、b)可知，m只能取1或-1

4。上述两方程有整数解，还必须满足
判别式为平凡数的条件，此时可知：
当且仅当m=1时，
16(1-m)=0
4(4m+5)=36=6^2
两者皆为平方数

综合1~4地论述，可知两方程的根都是整数的必要条件是m=1
而当m=1时
mx^2-4x+4=0的解为x=2
x^2-4mx+4m2-4m-5=0的解为x=-1或x=5
m=1为方程的根为整数根的充份条件

从而，可知两方程的跟都是整数的充分必要条件为m=1

Answer 3

m≠0时，(1)x=[2±2√(1-m)]/m → m=1
(2)x+16m=2±√(9-4m^2+4m) → 将m=1代入 → 成立
m=0时，两方程分别是一元一次方程、一元二次方程 (1)x=1 (2)x=±√5 → 不成立
综上，方程(1),(2)的根都是整数的充要条件是m=1

Answer 4

由求根公式得x=-b±√b^2-4ac/2a 所以b^2-4ac必须为整数的平方数 即16-16m和16m^2-4(4m^2-4m-5)为平方数 即16-16m>0或=0且4m+5>0或=0 所以-5/4<m<1或m=1或m=-5/4 m只有在这个范围内且√16-16m和√4m+5都为4m的倍数才有可能使方程组的根都为整数