Question

如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC延长线于G，则为何BF=CG

如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC延长线于G，则为何BF=CG

请写出具体过程。最好能用初一 初二上期的证明方法。

好的会加分
首先感谢匿名的那位。
可惜我们没有学线段垂直平分线上的点到结合两端距离相等这条定理。
可不可以用其他方法证明BE=CE呢？

Answer 1

证明思路：
连接BE、CE
∵AE平分∠BAC，EG⊥AC，EF⊥AB
∴EF＝EG
∵DE⊥BC，BD＝CD
∴BE＝CE（线段垂直平分线上的点到结合两端距离相等）
∴△Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）
∴BF＝CG

以下供参考，祝你学习进步

解：在Rt△AFE与△AGE中，
角FAE＝角EAG (题设）
AE=AE (公用）
△AFE全等于△AGE (ASA)(因在Rt△中，一斜边和一锐角对应相等，另一锐角必相等）
故，EF=EG (全等三角形对应边相等）
因DE垂直BC于D点，且D为BC的中点，故△BEC为等腰三角形，BE=CE
在Rt△BFE与△CGE中，EF=EG,BE=CE
则，Rt△BFE全等于Rt△CGE (ASA,或SAS）（在Rt△中，有两条边对应相等，其对应锐角必相等)
故，BF=CG (全等三角形对应边相等）
---证毕。

Answer 2

解：连接BE,EC
∵DE⊥BC,D为BC的中点
∴BE=EC
∵AE为∠BAC的角平分线
∴∠BAE=∠GAE
在△AFE和△AGE中
∠EFA=∠EGA
∠BAE=∠GAE
AE=AE
∴△AFE≌△AGE﹙AAS﹚
∴EF=EG
在Rt△EFB和Rt△EGC中
BE=EC
EF=EG
∴Rt△EFB≌Rt△EGC﹙HL﹚
∴BF=CG

Answer 3

连接EB,EC，证明三角形BEF和三角形ECG全等即可（用勾股算出BE=EC，再由角平分线性质得到FE=EG)