Question

若a+1/a=5,则a^4+a^2+1等于多少？

就是按题目说的，要过程，答案已经知道了，所以只需要各位解出过程，我们老师都说不会做，麻烦各位了，我会加分的，谢谢
大哥啊。答案是24啊 ,但是你算出来的怎么那么复杂？ 而且你回答的问题和我的都不一样，我看过了
希望真正有哪位善良的高手能帮帮我呢？

Answer 1

解：
a+1/a=5等价于：（a²+1）/a=5；
（a²+1）/a=5两边平方：（a²+1）²/a²=5²；
即：a^4+2a²+1=25a²;
移项有：a^4+a²+1=24a²;
所以求解a^4+a²+1的问题变为求解24a²，即a²的值；
以a²为元，解方程：a^4+2a²+1=25a²；
即解：a^4-23a²+1=0;
分配因式分解的参数：{a^4-23a²+(23/2)²}=-1+(23/2)²;
所以：（a²-23/2）²=-1+(23/2)²；
求得：a²=？（注：a≥0）；
将a²的值代入上式，即a^4+a²+1=24a²=？

其中的“？”是计算值，我就不做详细计算了。

之所以做些转换，是为了减少计算量。

如果你说答案是24，那么答案就是错的。我可以这样推翻答案是24：

等式a+1/a=5两边平方，得：a^4+2a²+1=25a²，两边减去a²，即a^4+a²+1=24a²；
也就是要求的式子a^4+a²+1=24a²；
假设你说的答案24是对的，那么：24a²=24；
也就是a²=1；
对于a+1/a=5，两边平方为a²+2+1/a²=25；代入a²=1等式明显不成立!!!

所以答案不可能是24！

Answer 2

由a+1/a=5，则两边平方得到a^2+2+1/a^2=25 -> a^2+1/a^2=23,又由原式得
a^2-5a+1=0,解得a=(5+√21）/2 或者 (5-√21）/2 ,下面还要对运算化简：
原式让求a^4+a^2+1/a^2，我先求a^4+（a^2+1）+1/a^2的值，因为它可以被因式分解，求得的结果减去1就可以了。
a^4+（a^2+1）+1/a^2 = （a^2+1/a^2)(a^2+1)=23(a^2+1)
又由于a+1/a=5，则通分后有（a^2+1)/a=5 -> a^2+1 =5a
所以a^4+（a^2+1）+1/a^2 =115a -> a^4+a^2+1/a^2=115a-1=
115/2*(5+√21)或者115/2*(5-√21）