Question

有六道选择题每题有三个选项所有的卷子中任选三张答卷都有一道题的选择不互相同，最多有多少人参加了考试

要求用数学建模方法解答。

Answer 1

首先这个题目的理解，任何三张答卷都有一道题的选择互不相同，是指，三张答卷有一题的答案分别是A,B,C互不相同，而不是，三张答卷互不相同就可以，也就是说，不是两两之间有答案不同就可以了。

13个人的答案是错的，在构建第二道题时，就出错了，第二题，前三个人，第二题都答A，第4、5人分别答B、C，则如果选择1~3号中2人，4、5中选1人，就发现第二题不是三人答案不同，只能考虑第一题三人答案不同。实际上，我们通过构造，会发现2题时，只能有4人参加，才能保证，任意三人，至少有一题答案互不相同。

现在的问题是，如何构建模型推导4题，6题，甚至更多题目的情况。

首先，我们来分析，2道题的情况，

1，第一题，至少有1/3的人，选择了A，余下2/3的人，选择了B、C

2，1/3选A的人，人数不能大于3（第二题，答案不同）

3，2/3选B、C的人，人数也不能大于3（这一群人中选3个时，第一题不满足答案不同的情况）

4，

下面，来看3道题的情况，

1，第一题，至少1/3的人，选择了A，余下2/3的人，选择了B、C

2，和前面2题的思路一样，2/3选B、C的人，人数也不能大于4（余下2题，来构建任意3个答卷，有一题答案不同）。

3，

因此，可以建立推导表格：

如此，可以看出，如果是4题，答案就是9人，如果是6题，最多19人。

Answer 2

13人。第一道题有三个人分别选了1、2、3
　　第二道题他们三个人选了同一个答案（就是1吧，因为所有答案条件相同无所谓的），另外两个人选了2、3
　　第三道题他们五个人选了1，其他两个人选了2、3
　　第四题他们7个选1，另两个2、3
　　第五题他们9个选1，另两个2、3
　　第六题他们11个选1，另两个2、3
　　一共13人。只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同，这是抽屉定理中的穷举法。

Answer 3

利用分配的方法：第一张可能有六种选择题，所以第一张有六种选法，为了不与第二张重复，所以有五种选法，第三个有四种选法。所以总共有6*5*4=120.所以有120人参与