Question

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观察下列等式：
1*2=1/3*1*2*3
1*2+2*3=1/3*2*3*4
1*2+2*3+3*4=1/3*3*4*5
1*2+2*3+3*4+4*5=1/3*4*5*6
……
猜想第n个等式为：
利用上题的结论求（1*2+2*3+3*4+…+100*101）^4/（1*2+2*3+3*4+…101*102）^3*103^3/100^4

Answer 1

第n个等式为：
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3*n(n+1)(n+2)
可用数学归纳法来证明
显然当n=1时1*2=1/3*1*2*3成立
假设当n=k时成立
即1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=1/3*k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时，有
1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=1/3*k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=1/3*(k+1)(k+2)(k+3)
所以当n=k+1时也成立
由数学归纳法知1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3*n(n+1)(n+2)成立

所以
(1*2+2*3+3*4+…+100*101)^4/(1*2+2*3+3*4+…+101*102)^3*103^3/100^4
=(1/3*100*101*102)^4/(1/3*101*102*103)^3*103^3/100^4
=3434

Answer 2

第n个等式为：
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……n(n+1)=1/3*n*(n+1)*(n+2)

（1*2+2*3+3*4+…+100*101）^4/（1*2+2*3+3*4+…101*102）^3*103^3/100^4
=[1/3*100*101*102]^4/[1/3*101*102*103]^3*(103^3/100^4)
=[(1/3)^4*100^4*101^4*102^4]/[(1/3)^3*101^3*102^3*103^3]*(103^3/100^4)
=[1/3*100^4*101*102]/103^3*103^3/100^4
=1/3*101*102
=101*34
=3434

Answer 3

(1*2+2*3+3*4+…+100*101)^4/(1*2+2*3+3*4+…101*102)^3*103^3/100^4
=[1/3*100*101*102]^4/[1/3*101*102*103]^3*103^3/100^4
=1*3*101*102*(100^4/103^3)*103^3/100^4
=34*101
=3434

Answer 4

猜想第n个等式为：1*2+2*3+3*4+4*5+……+n*(n+1)=1/3*n*(n+1)*(n+2)

1*2+2*3+3*4+…+100*101=1/3*100*101*102
1*2+2*3+3*4+…101*102=1/3*101*102*103
thus.
原式
=(1/3*100*101*102)^4/(1/3*101*102*103)^3*103^3/100^4
=1/3*101*102
=3434