Question

已知：如图，在直角三角形ABC中，∩BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，

内容详细点
已知：如图，在直角三角形ABC中，∩BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∩FGE=45°
求证AG⊥BE
若E为AC的中点，求EF：FD

Answer 1

分析：（1）根据题意，易证△GBD∽△CBE，得 BD/BE=BG/BC，即BD•BC=BG•BE；
（2）可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE；
（3）EF：FD=1： 10．
解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；

（2）∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE，
∴ AB/BG= BE/AB，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2，EF= 1/3AE，DE= 1/2AB，DF= 10/3AE
∴EF：FD=1： √10．

Answer 2

已知：如图，在直角三角形ABC中，∩BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∩FGE=45°
求证AG⊥BE
若E为AC的中点，求EF：FD

Answer 3

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
BD
BE
=
BG
BC

即BD•BC=BG•BE；

（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG=
BD•BC
BE
=
1
2
BC•BC
BE
=
1
2
(
2
AB)2
BE
=
AB2
BE
，
∴
AB
BG
=
BE
AB
，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）解：连接DE，
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角，
∴BE=
5
a，
∴AG=AB×
AE
BE
=
2
5
a=
2
5
5
a，
∴CH=
2
5
5
a，
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=
2
5
5
a：2
2
a=
10
：10．

Answer 4

说清楚点！ 条件不足 没有问题 求什么