Question

高一数学题 基本不等式 急

1<a<2,x≥1，f(x)=(a^x+a^-x)/2,g（x)=(2^x+2^-x)/2
比较f(x)与g(x)的大小

Answer 1

很简单！
用（a^x+a^-x）-(2^x+2^-x)比较两者的大小，化简如下：
原式=(a^x+1)/a^x-(2^x+1)/2^x
=(2^x *a^2x+2^x-a^x*2^2x-a^x)/2^x*a^x
提取公因子后
=（a^x-2^x)*(2^x*a^x-1)/2^x*a^x
由于，1<a<2,x≥1，所以判断后，得出
上式小于零，所以，f(x)<g(x)

还有什么问题的话，尽管问好了！！

Answer 2

g(x)大于f(x)

先算g(x)
g(x)=(2^x+2^-x)/2
=x+(1/2)^(x-1)+(1/2)x
因为(1/2)^(x-1)为在[1,正无穷)内单调递减,为减函数.
(1/2)x在[1,正无穷)内单调递增,为增函数.故g(x)为减函数.
故(1/2)^(x-1)小于等于1,(1/2)x大于等于1/2.
所以g(x)大于等于3/2.

f(x)=(a^x+a^-x)/2
=1/2(a^x+[1/(a^x)])
在定义域内单调递减.
即f(x)大于等于1

现在f(x)的最大值为1,g(x)的最大值为3/2.
所以g(x)大于f(x).

其中的计算用到了指数的计算,均值不等式的计算.过程太难表达了,故省去了,望见谅.大体希望你能懂.