Question

如图1,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别为S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3。

如图1,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别为S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3。

如图2，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别为S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）；

如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别为S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？并加以证明；

Answer 1

图二，s1=s2+s3
图三，s1=s2+s3
证明，三边分别为a，b，c，
a的平方等于b的平方加c的平方，
以a为边的正三角形的面积为s1：a的平方乘以sin60°，以b为边的正三角形的面积为s2：b的平方乘以sin60°，以c为边的正三角形的面积为s3：c的平方乘以sin60°，所以s1=s2+s3

Answer 2

（a）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（b）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（c）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．解答：解：（1）S3=πAC2 4 ，S2=π 4 BC2，S1=π 4 AB2，
∴S2+S3=S1．
（2）S2+S3=S1…（4分）
由三个四边形都是正方形则：
∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，…（8分）
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC2+BC2=AB2…（10分）
∴S2+S3=S1．
（3）S1= 3 4 AB2，S2= 3 4 BC2，S3= 3 4 AC2，
∴S2+S3=S1．(根号打不上）

Answer 3

23. 设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 .

(1) S1=S2+S3 . 2分

(2) S1=S2+S3 . 证明如下：

显然，S1=，S2=， S3=，

∴S2+S3==S1 . 5分

(也可用三角形相似证明)

(3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 . 证明如下：

∵ 所作三个三角形相似， ∴

. 10分

(4) 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3 . 14分

(若仅考虑到特殊的多边形，给2分；若考虑到任意的相似多边形，给3分)

Answer 4

图2 因为 a^2+b^2=c^2
所以 仍然是S1=S2+S3
图3 也是一样的S1=S2+S3
因为 正三角形的 高跟边也是有联系的
你学过三角函数没有？学过好吧了
sin60°·边长=高
所以正三角形面积=sin60°·边长·边长

如果你没学过 就用勾股定理
正三角形 三线合一
底边高也是中线，所以高=√边长平方+边长一半的平方

综上所述 图3仍然符合以上两图关系S1=S2+S3