Question

已知函数f(x)=1/3*x^3-(a+1)/2*x^2+bx+a+1(a,b

当a=1时，求函数y=f(x)的图像在x=3处的切线方程，
(2)若存在x<0,使得f'(x)=-9，求a的最大值
接题目（a,b€R），其导函y=f'(x)的图像过原点
答案出来后，你对了就给你，其实这题我没时间看了。谢谢

Answer 1

y=f'(x)的图像过原点 即y=f'(x)在x=0时，y=0
f'(x)=x²-(a+1)x+b
故 f'(0)=b=0，所以b=0
所以f(x)=x³/3-(a+1)x²/2+a+1
当a=1时, f(x)=x³/3-x²+2
f'(x)=x²-2x
f'(3)=3
又当x=3时，y=2
所以切线方程为 y-2=3(x-3)
整理得 y=3x-7

因 f'(x)=-9
故 x²-(a+1)x+9=0
故 a=(x²+9)/x-1
又因 存在x<0,使得f'(x)=-9，即a=(x²+9)/x-1在x<0的时候有解。
又 (x²+9)/x=x+9/x<=-6 【x<0】
所以 a=(x²+9)/x-1<=-7
所以 a的最大值为-7.

Answer 2

解：(1)∵f'(x)图像过原点，f'（x）=x^2-(a+1)x+b
f'(0)=0 → b=0
∴当a=1时,
∴f(x)=1/3*x^3-x^2+2
∴f'(3)=9-6=3 f(3)=2
∴切线方程为 y=3*x-7
(2)∵f'(x)=-9
∴x^2-(a+1)*x+9=0 → a=(x+9/x)-1 (x<0)
∴a<=-6-1=-7
故a的最大值为-7