Question

向量组的秩定义是什么？

我最近自学线代，感觉很多都不明白。看那个书上说的定义是：
设有向量组A，如果
1）在A中有r个向量a1，a2，。。。，ar线性无关。
2）A中任意r+1个向量都线性相关，那么称a1，a2，。。。。ar是向量组A的一个极大无关组，称r为向量组A的秩。
那向量组的秩不就是向量组中向量总数减1吗？为什么还要用初等变换等方法来求呢，感觉有点糊，请明白人指点下。
还有如果我把这个定义改成
1）在A中有r个向量a2，a3，。。。，ar+1线性无关。
2）A中任意r+1个向量都线性相关，那么称a2，a2，。。。。ar+1是向量组A的一个极大无关组，称r为向量组A的秩。
就是不从a1开始从中间某一个向量开始，这个定义还存在吗？

Answer 1

向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

Answer 2

向量组的秩不是向量组中向量总数减1

r个向量a1，a2，。。。，ar线性无关，那么随便加以一个向量，a1，a2，。。。，ar，a",就变成线性相关的了，也就是a"能被a1，a2，。。。，ar线性表出。而a1，a2，。。。，ar中任意一个都不能被除掉它本身的剩余的表示，比如a1不能被a2，。。。，ar表示。
如果按你的意思来说，向量组的秩是向量组中向量总数减1，我举个例子说明这是错误的，比如二维多个向量，a1=（1,2），a2=（2,3），a3=（2,4），
a4=（4,6），这个显然它的秩是等于2的，那么它的秩是4-1=3吗？显然不是，所以你的说法是错误的。
用初等变换的方法来求秩，是把向量化简到最简单的形式，便于一步了然，写成矩阵的形式，按列排列，第一个不为零的所在的列为无关组的向量。
不从a1开始从中间某一个向量开始，也可以。只要线性无关就行，还要是r个。

Answer 3