Question

三角形ABC中，a.b.c是角A、角B、角C所对的边，求证：a^2=b*(b+c)是角A等于二倍角B的充要条件

Answer 1

1.充分性：

由a²=b（b+c）成立，推导∠A=2∠B成立：

cosB=（a²+c²-b²）/2ac

=（b²+bc+c²-b²）/2ac

=（bc+c²）/2ac，

=（c+b）/2a

=（c+b）/2√（b²+bc）。

cosA=（b²+c²-a²）/2bc

=（b²+c²-b²-bc）/2bc

=（c-b）/2b。

由cos2B=2×cos²B-1

=2×（c+b）²/4（b²+bc）-1

=（c²+2bc+b²）/2b（b+c）-1

=（c²+2bc+b²-2b²-2bc）/2b（b+c）

=（c-b）/2b。

∴∠A=2∠B。

2.必要性：由∠A=2∠B成立推导a²=b（b+c）成立。

设△ABC中，∠A=2∠B，

在AB上取一点D，使得AC=CD=DB=b，

BC=a,AD=c-b,

作CE⊥AB，三角形BCE中：

CB²=CE²+BE²，

其中：CB²=a²，

CE²=b²-[（c-b）/2]²

BE²=[（b+（c-b）/2]²

a²=b²-（c-b）²/4+（c+b）²/4

a²=b²+bc，

得a²=b（b+c）。

证毕。