Question

一道高二数学简单大题！！！在线等

设长方体的三条棱长分别为x,y,z,满足x+y+z=1,其全面积为16/27。
（1）求体积函数V（x）
（2）求体积V（x）的最值

麻烦要详细的过程
提示 是不是要用到导函数的知识

Answer 1

解：设长,宽，高分别为y,z，x，则由题意得
y+z+x=1，即y+z=1-x
令1-x＞0，得x<1
2(yz+zx+yx)=16/27
(y+z)x+yz=8/27
yz=8/27-(y+z)x=8/27-x(1-x)=x^2-x+8/27
△`=(-1)^2-4*(8/27)＜0,故x^2-x+8/27恒为正.
y,z是关于t的方程t²-(1-x)t+x^2-x+8/27=0的两个实根。
△=(1-x)²-4(8/27-x+x²)=-3x^2+2x-5/27≥0,
即81x^2-54x+5≤0
解得1/9≤x≤5/9,
故V(x)=yzx=x(x^2-x+8/27)
=x^3-x^2+(8/27)x(1/9≤x≤5/9)

由于V（x）的表达式是一个三次方程，所以确实需要用导数的方法求最值
V(x)=x^3-x^2+(8/27)x
V'(x)=3x^2-2x+(8/27)
导函数等于0，即3x^2-2x+(8/27)=0得x=(2/9)或(4/9)
所以最值在x=(2/9)或(4/9)或者两个端点x=(1/9)或x=(5/9)
四个值中算出来最大的是最大值，最小的是最小值，具体多少你自己算一下。

Answer 2

(1)x+y+z=1,
2(xy+yz+zx)=16/27则xy+yz+zx=8/27
化简得x(y+z)+yz=8/27
把y+z=1-x带入上式得x(1-x)+yz=8/27,所以yz=8/27-x(1-x)
所以v(x)=xyz=x[8/27-x(1-x)

(2)对v(x)求导数得v(x)'=3x^2-2x+8/27
v(x)'=3(x-1/3)^2-1/27
然后令导函数等于零求得x=2/3,带入方程就可求出最值

Answer 3

x+y+z=1 x+y=1-x
全面积为
2(xy+xz+yz)=16/27
xy+xz+yz=8/27
x(y+z)+yz=8/27
yz=8/27-x+x^2
V(x)=xyz=x(x^2-x+8/27)=x^3-x^2+8/27x (0<x<1)
V'(x)=3x^2-2x+8/27=0
x=4/9 或者2/9
而V"(x)=6x-2
所以当x=2/9时V(x)max=20/729