Question

高中解析几何求解 高分 在线等

在平面直角坐标系中,已知点A(1/2,0)，点B在l：x=—1/2上运动,过B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M，M运动的轨迹为E，设点P是E上的动点，点R、N在y轴上，园C:{x=1+cosa, y=sina (a为参数) 内切与三角形PRN,求三角形PRN的面积的最小值
我求出来E：y^2=2x 圆C：(x-1)^2+y^2=1 然后就不会了 数学高手帮帮忙，占楼拿分的请自觉离开

Answer 1

设R(0,a), M(0,b) P(m^2/2,m) {其中m^2/2>2 ，m^2>4 ,（是因为p点的横坐标必须比2大）}
直线PR
y=[2(m-a)/a^2 ]x+a
直线PN
y=[2(m-b)/b^2]x+b
又因为圆心到两直线的距离为1
整理得方程（点到直线的距离公式）
（m^2-4)a^2+4ma-m^2=0 及（m^2-4)b^2+4mb-m^2=0
所以a,b是方程
（m^2-4)x^2+4mx-m^2=0 的两个根
解得x1=a=2m/(m+2) x2=b=-2m/(m-2)

PRN的面积=1/2*|a-b|*(m^2/2)
=m^4/(|m^2-4|)
又因为m^2>4
令m^2-4=t (t>0)
m^2=t+4 带入 m^4/(|m^2-4|)
PRN的面积=（t+4)^2/t=t+(16/t)+8 >=8+8=16
所以PRN的面积的最小值为16

Answer 2

今天有急事，明天上午帮你解，数学字不好输。
来了。
用PR=PN=RN解大概不行，因为P限定在了C曲线上。
用参数方程：
设切点为M（1+cosA,sinA)Q(1+cosB,sinB)
AB均在（-180，180）内，且不妨设A>B
则写出切线方程为：
PR：tanA+x=1+secA
PN：tanB+x=1+secB
联立，则P（（tanA(1+secB)-tanB(1+secA))/(tanA-tanB),(secA-secB)/（tanA-tanB)）,
化简得P（2cos（A/2）*cos(B/2)/cos((A-B)/2),sin((A+B)/2)/cos((A-B)/2)) （1）
带入E化简得：(cos((A+B)/2)+cos((A-B)/2))^2=(sin((A-B)/2))^2 （2）
画图分析知等式左面两项均为正，又由设知等式右面为正。可去平方，
cos((A+B)/2)+cos((A-B)/2)=sin((A-B)/2) （3）
求出两切线在y轴上截距(1+cosA)/sinA，(1+cosB)/sinB，
则面积S=1/2*((1+cosA)/sinA-(1+cosB)/sinB)*2cos（A/2）*cos(B/2)/cos((A-B)/2) （4）
化简带入（3）式得：
S=（1-cos(A-B))/(sin(A-B)-2cos(A-B)-2) (5)
把分母乘过来：
S*sin(A-B)+(1-2S)*cos(A-B)-2S-1=0 (6)
则（1-2S）^2+S^2>=（2S+1）^2
S>=8
验证出存在cosA=(3-8*2^0.5)/17
cosB=(3+8*2^0.5)/17
使S=8成立，
则三角形PRN最小面积为8
楼上有一个解得16的是对的，不过好像忘了三角形面积除2了，这个是参数方程解法，权当丰富一下吧。

Answer 3

设圆心是O（1，0）三角形PRN的面积=PON+RON+POR 这三个小三角形的面积之和，他们的高都是1，底分别是：PR RN PN那么问题就转化为：求PR+RN+PN的最小值；
我们知道a+b+c的最小值是当且仅当a=b=c的时候，a+b+c=三次根号下abc；
所以，当PR=RN=PN的时候，所求三角形PRN的面积的最小；
到了这里你有头绪了么？
自己再动动脑筋吧，要有独立思考的好习惯哦...

Answer 4

圆C：(x-1)^2+y^2=1
圆心是Q（1，0),
当PR=RN=PN的时候，PR+RN+NP=(PR*RN*NP)^(1/3),所求三角形PRN的面积的最小,
当PR=RN=PN, 角 QRN=pi/6, Q(1,0) 到O(0,0)的距离=QO=1, RO=3^(1/2)
三角形ROQ的面积=3^(1/2) /2
三角形PRN的面积=6* 三角形ROQ的面积= 3* (3^(1/2))