Question

不动点解数列问题

例如 Sn=2n^2-3n+k 求an

能否用不动点方法求解 详细过程

再举几个可用不动点方法求解的问题的典型模型

Answer 1

你列出的题目，不是递推数列，而且当：S[n]=2n^2-3n+k时，我们有：S[n-1]=2(n-1)^2-3(n-1)+k，两式相减即有：a[n]=4n-5，就不必劳驾“不动点”了。尽管这题还有一些小问题需要讨论，比如k的问题，但因为不是我们这里讨论的主题，就不继续展开了。
通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数，c、e不同时为0】的通项，我们可以采用不动点法来解。假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n])，我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程，其根称为函数f(x)的不动点。至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项，这足可以写一本书。但大致的理解可以这样认为，当n趋于无穷时，如果数列{a[n]}存在极限，a[n]和a[n+1]是没有区别的。
首先，要注意，并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程，比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n]。其次，不动点有相异不动点和重合不动点。详细的概念和推导就不展开了，还是看几个具体的例子吧。

【说明：这题是“相异不动点”的例子。】
例1：已知a[1]=2，a[n+1]=2/(a[n]+1)，求通项。
解：先求不动点
∵a[n+1]=2/(a[n]+1)
∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】

∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】
=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)
=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)
=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)
=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)
∵a[1]=2
∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4
∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)
解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2

【说明：这题是“重合不动点”的例子。“重合不动点”往往采用取倒数的方法。】
例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3，a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1，求通项。
解：∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴采用不动点法，令：x=2-1/x
即：x^2-2x+1=0
∴x=1 【重合不动点】

∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】
a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
两边取倒数，得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
∵a[1]=3
∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2，公差为1的等差数列
即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)

【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数，下面看个不动点方程系数包含n的例子。】
例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2，S[n]=a[n]n^2-n(n-1)，求通项。
解：∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)
∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n
将上面两式相减，得：
a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)
(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n
(n+2)a[n+1]=na[n]+2
a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】

采用不动点法，令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)
解得：x=1 【重合不动点】
设：a[n]-1=b[n]，则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】
代入【1】式，得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)
b[n+1]=b[n]n/(n+2)
即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)

于是：【由于右边隔行约分，多写几行看得清楚点】
b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】
b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】
b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)
b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)
......
b[5]/b[4]=4/6
b[4]/b[3]=3/5
b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】
b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】
将上述各项左右各自累乘，得：
b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]

∵a[1]=1/2
∴b[1]=a[1]-1=-1/2
∴b[n]=-1/[n(n+1)]
∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]

【说明：下面举个例子，说明有些题目可以采用不动点法，也可以采用其他解法。】
例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2，a[n+1]=(2a[n]+1)/3，求通项。
解：∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
求不动点：x=(2x+1)/3，得：x=1 【重合不动点】
∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】
即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1，公比为2/3的等比数列
即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)
∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)

【又】解：∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
∴3a[n+1]=2a[n]+1
这时也可以用待定系数法，甚至直接用观察法，即可得到：
3a[n+1]-3=2a[n]-2
∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
【下面同上】

【说明：下面举个例子，说明有些题目可以采用不动点法，但采用其他解法可能更方便。】
例5：已知数列{a[n]}满足a[1]=2，a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])，求通项。
解：求不动点：x=(1+x)/(1-x)，即：x^2=-1，得：x[1]=i，x[2]=-i（i为虚数单位）
【中间一大段过程我们不写了，就只给出结果】a[n]=[(2-i)i^n-1+2i]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]

【下面用“三角代换”，看看是否更巧妙一些。】
解：∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])
∴令a[n]=tanθ，则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tanθ]=tan(π/4+θ)
∵θ=arctan(a[n])，π/4+θ=arctan(a[n+1])
∴上面两式相减，得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4
∵a[1]=2
∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2，公差为π/4的等差数列
即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4
∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]

Answer 2

不动点解法。