Question

高中数学，不等式题目

设a>0,b>0,且a≠b，试比较(a^a)*(b^b)与(a^b)*(b^a)的大小

Answer 1

(a^a)*(b^b)/(a^b)*(b^a)=(a^a)/(a^b)*(b^b)/(b^a)=a^(a-b)*b^(b-a)=a^(a-b)*1/b^(a-b)=(a/b)^(a-b)
如果a>b,a/b>1,a-b>0,(a/b)^(a-b)>1
如果a<b,a/b<1,a-b<0,(a/b)^(a-b)>1
(a^a)*(b^b)/(a^b)*(b^a)>1
(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)

Answer 2

a^a*b^b=(ab)^a*b^(b-a) 1
a^b*b^a=(ab)^a*a^(b-a) 2
若a>b,则a^(b-a)<b^(b-a),即1式>2式
若a<b,则a^(b-a)<b^(b-a),即1式>2式
综上所述，(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)

Answer 3

(a^a)*(b^b)/[(a^b)*(b^a)]=a^(a-b) * b^(b-a)
=(a/b)^(a-b)
∵a>0,b>0，a≠b
当 a>b时, a/b>1 a-b>0 ∴(a/b)^(a-b)>1
当 a<b时, a/b<1 a-b<0 也有(a/b)^(a-b)>1

∴(a/b)^(a-b)>1

(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)

Answer 4

先作商，得（a/b）^a-b再分类讨论a>b.a=b,a<b

Answer 5

先取对数，对付幂、乘很有效
alna+blnb与alnb+blna比较
再做差，对加减很有效
(alna+blnb)-(alnb+blna)
=aln(a/b)-bln(a/b)
=(a-b)（lna-lnb)
单调性相同，恒大于0
(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)