Question

在三角形ABC,角A,B,C,的对边分别是a,b,c,已知cosA=4/5,b=5c.

（一）求sinC的值。（二）求sin(2A＋C)的值。（三）若三角形ABC的面积S＝3/2sinBsinC,求a的值。

Answer 1

解:
⑴因为cosA=4/5 在三角形中可知
0<A<π/2 所以可以求出sinA=3/5
由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA=18c²
即a=3√2c
再由正弦定理a/sinA=c/sinC
3√2c/(3/5)=c/sinC
所以sinC=√2/10

⑵由正弦定理a/sinA=c/sinC
3√2c/(3/5)=c/sinC
所以sinC=√2/10 ,cosc=7√2/10
sin(2A+C)=sin2A*cosC+cos2A*sinC
=2sinA*cosA*cosC+(2cos²A-1)*sinC
=2*(3/5)(4/5)(7√2/10)+[2*(4/5)(4/5)-1]*√2/10
=7√2/10

⑶△ABC的面积S=(1/2)acsinB
已知S=1.5sinBsinc
即得：(1/2)acsinB=1.5sinBsinc
得ac=3sinc
由⑴知a=3√2c，sinC=√2/10带入
求得：a=3/√5=3√5/5